Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


1. тензор деформаций

 

При описании геометрии пространственного объекта – пространственного тела вводятся криволинейные (в общем случае

неортогональные) координаты  (). Фиксируя по две координаты одновременно, получим три кривые, проходящие через выбранную точку :

, , .              (1)

Обозначение криволинейной координаты в виде буквы с верхним индексом является общепринятым в тензорном анализе. Выбор криволинейных координат определяется существом задачи. Так, если в задаче есть осевая симметрия, то удобно ввести цилиндрические координаты, при центральной симметрии – сферические координаты и т.д. Переход к специальным координатам может упростить процедуру удовлетворения краевым условиям решаемой задачи. Отметим, что для описания положений точек тела достаточно использовать и декартовые координаты. Важным здесь является установление правил преобразования компонентов векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Радиус-вектор произвольной точки тела , как функция координат , определяет тройку векторов , касательных к кривым линиям  (здесь и далее запятая перед индексом означает дифференцирование по соответствующей переменной). Расстояние между точками тела можно определять, зная компоненты метрического тензора :

   .                          (2)

Вводимые криволинейные координаты могут быть и размерными, и безразмерными величинами, как например, в полярных координатах радиальная и угловая координаты.

Известно, что вместе с введенным базисом из тройки неортогональных векторов может быть построен взаимный базис. Такой взаимный базис вводится для удобства построения операций с векторами и тензорами.

Выберем в качестве  декартовы координаты , тогда ,  – ( при , 0 при  – символ Кронекера).

Для цилиндрических координат , ,

.

Обычно криволинейные координаты вводятся для описания областей специального вида. Например, параллелепипед удобнее описать в декартовых координатах. Его границы описываются уравнениями .

Для тела цилиндрической формы границы представляются в простой форме  в специальной, цилиндрической системе координат. Для описания пластин непрямоугольной формы в плане иногда вводят специальные неортогональные координаты так, чтобы кромки пластины в новых координатах описывались бы в виде . Во всех случаях знание компонентов метрического тензора позволяет вычислять расстояния между точками в специально выбранной системе координат.

В результате деформации радиусы-векторы точек тела  изменяются. Обозначим радиусы- векторы после деформации , а соответствующие компоненты метрического тензора

Ковариантные компоненты тензора деформаций Грина определяются формулой:

  .                    (3)

Этой формулой вводится свое обозначение для полуразности компонентов метрического тензора тела в деформированном и недеформированном состояниях. Никаких ограничений на величину перемещений точек тела пока не делалось.

Можно ввести в рассмотрение вектор перемещений точки тела  и представить радиус-вектор в виде:

  .           (4)

При этом

  .             (5)

Особо следует отметить, что дальнейшее раскрытие выражения для компонентов тензора деформаций связано с выбором системы координат, в которой будут описаны компоненты вектора перемещений. Этот вектор может быть разложен на компоненты как в локальном базисе , так и в глобальном базисе – как правило, в декартовой системе координат.

При малых  выражение для деформаций можно линеаризовать:

      .                                    (6)

В механике для описания деформирования специальных элементов конструкций часто используются свои модели, которые отражают особенности поведения этих элементов при нагружении. Ниже рассматриваются модели криволинейных стержней.