Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


2. стержневая модель

 

Стержнем в механике называется тело, у которого размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной и радиусом кривизны осевой линии.

Осевой линией стержня называется линия, соединяющая центры тяжести площадей поперечных сечений стержня.

При деформировании гибкого стержня его осевая линия может сильно изменить свою форму (форма до нагружения стержня). Если даже деформации подчиняются закону Гука задача

о деформировании должна ставиться как геометрически нелинейная.

При выводе уравнений равновесия стержня принимаются следующие допущения:

  сечения стержня, перпендикулярные к осевой линии до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к осевой линии после деформации (гипотеза Бернулли);

  размеры поперечного сечения остаются малыми по сравнению с длиной стержня и радиусом кривизны его оси;

различные, но статически эквивалентные локальные нагрузки  приводят к возникновению в стержне одного и того же напряженного состояния, если не учитывать местные напряжения вблизи точки приложения нагрузки (принцип Сен-Венана).

Сделанные допущения позволяют заменить стержень эквивалентной моделью – пространственной кривой – его осевой линией с присоединенными в каждой точке трехгранниками. Эти трехгранники обычно ориентированы вдоль касательной и главных осей инерции поперечного сечения.

Пусть пространственная кривая описана уравнением , где – длина вдоль кривой. Взяв производную , мы определим единичный вектор, касательный к кривой. Это один из векторов упомянутого трехгранника. Остальные два лежат в плоскости поперечного сечения стержня – они перпендикулярны вектору касательной. Их выбор связан с необходимостью описания изменений кривизн при изгибе относительно главных осей инерции поперечного сечения. В связи с этим два остальных вектора ориентируют вдоль главных осей инерции поперечного сечения (рис. 1, 2). В плоскости поперечного сечения могут быть также проведены нормаль и бинормаль.

 

 

Рис. 1. Главные оси инерции поперечного

сечения стержня, нормаль и бинормаль к кривой

 

Рис. 2. Ориентация трехгранника, связанного с кривой