Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


2.1. преобразование тензора деформаций в случае стержневой модели

 

  Будем считать, что деформирование трехмерного тела подчиняется гипотезе сохранения нормальных сечений к осевой линии стержня. Это означает, что закон перемещений точек можно представить в виде (рис. 3):

;

,                            (7)

;   ,

,   ().

Здесь  – радиус-вектор точки стержня как трехмерного тела; ,  – радиус-вектор и орты нормали к осевой линии; – символ Кронекера; знаком “” отмечены величины в деформированном состоянии; ,  () считаются функциями криволинейной координаты . Далее предположим, что .

В формулах (7) и далее предполагается суммирование по повторяющимся дважды индексам . Согласно принятой гипотезе, трехмерное тело отнесено к криволинейным координатам (), производные по которым обозначаются индексом после запятой.

Метрика трехмерного тела задается ковариантными компонентами метрического тензора , а деформированное состояние определяется ковариантными компонентами тензора конечных деформаций Грина:

, ().

В более подробной записи:

,

, ,

, .

Рис. 3. Поперечное сечение стержня

 

Используя выражения (7), выпишем следующие ненулевые значения , :

,

,    (здесь  – не степень ),

, (),

 ,

,         (8)

,

 – деформация удлинения оси стержня

 – деформации изгиба оси стержня,

.

Полученные формулы определяют значения  через векторы , ,  осевой линии и координаты ,  точек сечения стержня. В силу малости размеров поперечного сечения стержня в деформации  пренебрегают слагаемыми с . Отличные от нуля деформации , ,  приводят к возникновению напряжений , , . В рассматриваемой модели стержня эти напряжения интегрируются по сечению и заменяются приведенными силами и моментами:

· продольная сила

  ,                                              (9)

· перерезывающие силы

, ,

· изгибающие моменты

, ,

· крутящий момент

.

Для нагруженного стержня в каждой точке осевой линии существуют вектор внутренних сил  и вектор моментов . В (9) приведены их компоненты в локальных координатах.