Название: Деформирование криволинейных стержней - учебное пособие (Левин В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1292


2.2. деформирование плоского криволинейного стержня

 

  Рассмотрим случай деформации оси криволинейного плоского стержня в своей плоскости более подробно.

Радиус-вектор оси имеет вид

.

Вектор касательной  имеет единичную длину.

Введем вектор нормали к оси по формуле:

.

Векторы ,  жестко связаны с кривой. Они поворачиваются при деформировании на один и тот же угол.

Для дальнейших обобщений удобнее использовать индексные обозначения:

, ,   где   , .          (10)

b – матрица поворота. Поскольку , .

Можно показать, что – это также свойство матрицы поворота. Удобно ввести угол , смысл которого ясен из рис.4. В этом случае:

  .                                      (11)

Рассмотрим в текущей точке кривой s наряду с векторами ,  векторы, ориентированные так же, как векторы глобального базиса , . При изгибе осевой линии эти векторы повернутся и займут положение ,  (рис. 4):

, ,                      (12)

где  – матрица поворота.

Очевидно, что

.                                         (13)

В результате деформации текущая точка s плоской кривой займет новое положение, определяемое радиусом-вектором:

.                                         (14)

Рис. 4. Деформирование бесконечно малого элемента кривой

 

Рассмотрим поворот малого элемента кривой – вектора :

.

В результате поворота вектора его координаты в поворачивающемся базисе не изменятся:

.

С учетом растяжения кривой получим:

,                                 (15)

где  – относительная деформация растяжения кривой.

Поскольку , из (15) следует:

.                     (16)

В проекциях на глобальные оси:

,  k = 1, 2  .                  (17)

Соотношение (17) связывает перемещение плоской кривой с ее изгибом, который описывается как матрица-функция поворота бесконечно малой окрестности текущей точки кривой.

 

Новые глобальные координаты точки кривой после деформирования будут такими:

  .                                        (18)

Продифференцируем (18) по :

  .                    (19)

Из (19) следует, что:  

,                                  (20)

где .

При использовании кривой в качестве расчетной модели в задачах о деформировании стержня необходимо количественно определить изменения кривизн этой кривой (для пространственно нагруженного стержня и изменение кручения).

Рассмотрим этот вопрос для плоского стержня, деформирующегося в своей плоскости:

,

 – кривизна кривой в исходном состоянии (рис. 5). По аналогии:

– кривизна кривой в деформированном состоянии.

Для нахождения приращения кривизн выпишем следующие формулы:

.                             (21)

В более подробной записи:

,

,

 – начальная кривизна,

,

,

,

.          (22)

Найдем приращение кривизны осевой линии при изгибе:

.  (23)

Таким образом, в выражение для приращения кривизны не входит начальная кривизна . Используя формулы (22) можно показать, что:

 .                               (24)

К такому же выводу можно прийти из простых геометрических построений (рис. 5). Изменение кривизны связано с изгибающим моментом соотношением:

   .                                            (25)

Направление приращения угла поворота касательной (нормали) положительно против часовой стрелки.

 Направления некоторых векторов задаются. Направления векторов, определяемых, например, в результате векторного умножения, устанавливаются соответствующими правилами. При записи соотношений упругости нужно согласовать знаки кинематических и силовых факторов из физического смысла.

Рассмотрим малый элемент деформированной оси стержня Вдоль этого элемента направим единичный вектор  (рис. 6).

 

 

Рис. 6.  Равновесие бесконечно малого элемента стержня

 

Составляя уравнения равновесия элемента по силам и моментам относительно точки  (рис. 6), получим:

                                               (26)

Связь дифференциалов деформированной и недеформированной кривой имеет вид: .

Это векторные уравнения равновесия, записанные для деформированного состояния осевой линии стержня. Они верны и для трехмерного случая.

Суммируя изложенное выше, запишем систему уравнений, описывающих большие перемещения криволинейного плоского стержня в своей плоскости:

,

,

,

,

,                                   (27)

,

.

Обозначим , . Тогда:

,

,

,                                           (28)

,

,

.

Записанные уравнения содержат проекции неизвестных функций на оси глобальной системы координат. Это не единственная форма записи. Другие варианты записи можно получить, используя связь между проекциями в разных системах координат.

 Взаимная ориентация векторов  и ,  и  одинакова, поэтому можно записать:

  .                                  (29)

Выпишем формулы связи между векторами ,, :

,

(30)

 
,

,

.

 Необходимые производные векторов могут быть представлены с помощью вышеприведенных соотношений в различной форме. Например:

.                               (31)

Рассмотрим произвольный вектор . Найдем связь между проекциями вектора на различные оси. Используя формулы (30), получим:

, ,, .    (32)

С помощью формул (30) можно представить уравнения через компоненты искомых функций в других координатах, например, локальных, связанных с исходной геометрией криволинейного стержня.