Название: Программирование на Фортране в среде MSDEV - Методическое пособие (Л.Г. Шевченко, Т.В. Дружинина)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1019


Функциональные ряды

 

Вариант 1

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить f(x) = ln x  в ряд по степеням (x - 4).

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции  y = y(x),  являющейся решением задачи Коши y¢ = ln (x +1) + ey , y(0) = 0 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) = 1 – cos  на (0;1).

6*. Будет ли функция  непрерывной на

[0 ; ¥)? {Применить признак Абеля}.

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (- ¥ ; 0)?

 

Вариант 2

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x)=   в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых четыре отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши   y¢ = y3 –3,  y(0) = 1.

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x)=  на [0;1].

6*. Будет ли функция  непрерывной на [1 ; ¥)?

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на [e ; ¥), (e>0)? {К ряду из производных применить признак Дирихле}.

 

Вариант 3

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить f(x) = ln   в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши y¢ = sin 3x + cos y , y(0) = 0 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций fn(x) = ln  на (0;1).

6*. Будет ли функция  непрерывной на [1 ; ¥)?

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (- ¥ ; ¥)?

 

Вариант 4

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x) =   в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,01.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши   y¢ = x y + e y , y(0) = 0 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) =   на [0;1].

6*. Доказать, что ряд  равномерно сходится к  на (0; ¥). {Разложить  на простейшие дроби и найти Sn(x)}.

 

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на [0;1]?

 

Вариант 5

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x) = (1-x) ln (1-x)  в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,01.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции  y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢¢ = x + y 2 ,  y (0) = 0 ,  y¢ (0)=1.

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) = sin  на [0;2].

6*. Доказать, что  непрерывна на (- ¥ ; ¥) и вычислить .

7*.Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (- ¥ ; ¥) ?

Вариант 6

1. Найти радиус и интервал сходимости ряда .

2. Разложить  f(x)=   в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых четыре отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢ = x 2 y 2 –1 , y(0) = 1.

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) =   на [0;1].

6*. Будет ли функция f(x) =  непрерывной на [0 ; ¥)? {Применить признак Дирихле}.

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (0 ; ¥) ?

 

Вариант 7

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x) =   в ряд по степеням (x + 3 ).

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢¢ - x y2 = 0 , y (0) = y¢ (0) = 1 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) = ln cos  на [0;1] .

6*. Можно ли  почленно интегрировать ряд  на

(-¥ ; ¥)?

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на

[1 ; ¥)?

 

Вариант 8

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x) = ln (9 + x)  в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти пять первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢¢ = x y2 - y¢ ,  y(0) = 2 ,  y¢ (0) = 1 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) =   на (0;1).

6*. Исследовать на равномерную сходимость на (- ¥ ; ¥) ряд  {Применить признак Абеля}.

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на [0 ; ¥)?

 

Вариант 9

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x) = cos 3x  по степеням .

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢ = x e - x  + ln y , y(0) = 1 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) = n x  на (0;1).

6*. Будет ли функция f(x) = непрерывной на

(-1;1)?

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (0 ; ¥) ? {К ряду из производных применить признак Дирихле}.

 

Вариант 10

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x)=   в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢ = cos x + e y + x ,  y(0) = 0 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) = ln   на [0 ; 1].

6*. Будет ли функция  непрерывной на

(-¥ ; ¥)?

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  

на (0 ; ¥)?

 

Вариант11

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x)=   в ряд Маклорена.

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢ = cos x + y  2 , y (0) = 1 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) =   на (0 ; 1] .

6*. Доказать, что функция  непрерывна на .

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (0 ; ¥)?

 

Вариант 12

1. Найти область сходимости ряда .

2. Разложить  f(x) = ln   в ряд по степеням (x + 1).

3. Вычислить  с точностью до 0,001.

4. Найти первых три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена функции y = y(x), являющейся решением задачи Коши  y¢ = x + x2 + y2 , y(0) = 5 .

5*. Исследовать на равномерную сходимость последовательность функций  fn(x) = x e –n x  на [1 ; ¥).

6*. Будет ли функция  непрерывной на

(1 ; ¥)?

7*. Можно ли почленно дифференцировать ряд  на (1; ¥)?

 

РЯДЫ ФУРЬЕ.

 

Вариант 1

1. Разложить  в ряд Фурье на

(-p; p).

2. Разложить функцию  

в ряд по косинусам на [0; p].

 

3. Разложить функцию f(x) = 10 – x  в ряд Фурье на (-5; 5).

4. Разложить функцию f(x) = е x  в ряд по синусам на интервале (0; ln2).

5. Разложить функцию f(x) = cos ax в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p; p), ( а – нецелое число).

Вариант 2

Разложить функцию f(x)= 2 x + 3  в ряд Фурье на (-p; p).

Разложить функцию  

в ряд по косинусам на [0; p].

Разложить функцию f(x)= е x- 1  в ряд Фурье на (-2; 2).

Разложить функцию f(x) =   в ряд по синусам на интервале (0; 2).

Разложить функцию f(x)=ch x в ряд Фурье в комплексной форме на отрезке [-p; p].

 

Вариант 3

Разложить функцию

в ряд Фурье на (-p; p).

Разложить функцию f(x)= cos ax  , ( а – нецелое число), в ряд Фурье по синусам на интервале (0; p).

Разложить функцию  f(x)=  в ряд Фурье на интервале (-2; 2).

Разложить функцию f(x)= в ряд по косинусам на отрезке[0; 3].

Разложить функцию f(x)= в ряд Фурье в комплексной форме на отрезке [-p; p].

 

Вариант 4

Разложить функцию  в ряд Фурье на (-p; p).

Разложить функцию  в ряд по синусам на [0; p].

Разложить функцию f(x) = ú xú - 5  в ряд Фурье на (-2; 2).

Разложить функцию f(x) =   в ряд по косинусам на интервале (0; 2).

Разложить функцию f(x) =ú cos xú  в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p; p).

 

Вариант 5

Разложить функцию f(x) = x +ú x÷ в ряд Фурье на [-p; p].

Разложить функцию  

в ряд по синусам на [0; p].

Разложить функцию   в ряд Фурье на (-1; 1).

Разложить функцию f(x)=  в ряд по косинусам на интервале (0; 3).

 

5. Разложить функцию f(x)= е 2x в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-1/2; 1/2).

 

Вариант 6

Разложить функцию  в ряд Фурье на [-p; p].

Разложить функцию f(x)= sin в ряд по косинусам на

(0; p).

Разложить  функцию   f(x)=    в ряд Фурье на интервале (-3; 3).

Разложить функцию f(x)=  в ряд по синусам на отрезке [0; 2].

Разложить функцию f(x)= е x  в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p;p).

 

Вариант 7

1. Разложить функцию     в ряд Фурье на [-p; p].

2. Разложить функцию f(x) = sin ax в ряд Фурье по косинусам на [0; p], ( а – нецелое число).

3. Разложить функцию      в ряд Фурье на [-1; 1].

4. Разложить функцию f(x) =   в ряд по косинусам на отрезке [0; 2].

5. Разложить функцию f(x) = sh x  в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p; p).

Вариант 8

1. Разложить функцию   в ряд Фурье на [-p; p].

2. Разложить функцию f(x) =  в ряд по синусам на

[0; p].

3. Разложить функцию f(x)= 2 x – 3  в ряд Фурье на (-3; 3).

4. Разложить функцию f(x)=   в ряд по косинусам на отрезке [0; l].

5. Разложить функцию f(x)= в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-2; 2).

 

Вариант 9

1. Разложить  в ряд Фурье на

[-p; p].

2. Разложить функцию  в ряд по косинусам на [0; p].

 

3. Разложить функцию f(x)= 5 x - 1  в ряд Фурье на (-5; 5).

4. Разложить функцию f(x) =  в ряд по синусам на отрезке [0; 4].

5. Разложить функцию f(x) = sin ax в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p; p), ( а – нецелое число).

 

Вариант 10

1. Разложить  в ряд Фурье на [-p; p].

2. Разложить функцию  в ряд по косинусам на [0; p].

3. Разложить функцию f(x) =  в ряд Фурье на (-1; 1).

4. Разложить функцию f(x) = e x  в ряд по косинусам на интервале (0; ln2).

5. Разложить функцию f(x) = x sin x  в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p; p).

 

Вариант 11

Разложить  в ряд Фурье на [-p; p].

Разложить функцию  в ряд по синусам на [0; p].

Разложить функцию  f(x) =    в ряд Фурье на (-1; 1).

Разложить функцию f(x) =  в ряд по синусам на отрезке [0; 3].

 

5. Разложить функцию f(x) =ú sin xú в ряд Фурье в комплексной форме на интервале (-p; p).

 

Вариант 12

1. Разложить  в ряд Фурье на [-p;p].

2. Разложить функцию f(x) = x (p - x) в ряд по синусам на

(0; p).

3. Разложить функцию f(x)= 4 – 2÷ x÷  в ряд Фурье на (-4; 4).

4. Разложить функцию f(x)= в ряд по косинусам на отрезке [0; 5].

5. Разложить функцию f(x)= в ряд Фурье

 

в комплексной форме на интервале (-p;p).

 

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

 

Вариант 1

1. Представить функциюинтегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) нечетно.

3. Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти косинус-преобразованиe Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

Вариант 2

1. Представить интегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) нечетно.

3. Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

Найти синус-преобразование Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

Вариант 3

1. Представить функцию  интегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) нечетно.

3. Представить f(x) = e -5÷ x÷ интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти синус-преобразованиe Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

 

Вариант 4

1. Представить функцию  интегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) четно.

3. Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти косинус-преобразование Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для f(x)= x e –÷  x ÷.

 

Вариант 5

Представить функцию  интегралом Фурье.

Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) четно.

Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

Найти косинус-преобразование Фурье для  f(x) = 2- x  при х ³0.

Найти преобразование Фурье для .

 

Вариант 6

Представить функцию  

интегралом Фурье.

Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) четно.

Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

Найти косинус-преобразование Фурье для .

Найти преобразование Фурье для f(x)=  e – 3÷  x ÷.

 

Вариант 7

1. Представить функцию интегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) нечетно.

3. Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти синус-преобразование Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

 

Вариант 8

1. Представить функцию  интегралом Фурье.

2. Представить f(x) = e x , x £ 0 интегралом Фурье, продолжая f(x) на (0; ¥) нечетно.

3. Представить f(x) = sign x – sign ( x - 2)  интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти синус-преобразование Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

 

Вариант 9

Представить функцию  интегралом Фурье.

Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) четно.

Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

Найти косинус-преобразование Фурье для .

Найти преобразование Фурье для .

Вариант 10

1. Представить функцию  интегралом Фурье.

2. Представить  f(x)= e –5 x , x ³ 0 интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) четно.

3. Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти косинус-преобразование Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

 

Вариант 11

1. Представить функциюинтегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) нечетно.

3. Представить  интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти косинус-преобразование Фурье для .

5. Найти преобразование Фурье для .

 

Вариант 12

1. Представить функцию f(x)=sign x e-| x |  интегралом Фурье.

2. Представить  интегралом Фурье, продолжая f(x) на (- ¥; 0) четно.

3. Представить f(x) = sign ( x-2) – sign ( x- 3) интегралом Фурье в комплексной форме.

4. Найти синус-преобразование Фурье для f(x) = 5 – x , x ³ 0.

5. Найти преобразование Фурье для .