Название: Самостоятельные и контрольные работа по специальным разделам высшей математики - (Г.И. Анохина)

Жанр: Экономика

Просмотров: 809


Быкновенные дифференциальные уравнения

 

Вариант 1

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциаль-ного уравнения первого порядка:

a) ;  b) y¢ + x y = x 3 y 3; 

c) ( x 2+ y ) dx + ( x - 2 y) dy = 0;

d) ( x 2 – sin 2 y ) dx + x sin 2y dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

a) x y¢¢ –y¢ - x2 = 0 , y (1) =  , y¢ (1) = 3;

b) y¢¢ – 6 y¢ + 13 y = 26 x 2 + 2 x , y (0) = , y¢ (0) = 1.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ – 2 y¢ + 10 y = x 2 sin 2x + x e x sin 3x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения y¢¢ + y = sec x.

5. Решить системы:  a)        b)

Вариант 2

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

x dy –y dx =dx;         b) cos t + s sin t =1;

c) ( y - 3x 2) dx - ( 4y - x) dy = 0; d) (x - x y) dx + (x 2 + y) dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

(y – 2 ) y¢¢ = 2 ( y¢ ) 2  , y(0) = 3 , y¢ (0) = 1;

y¢¢ – 7 y¢ + 12 y = (6 x + 1) e x  , y (0) = 1 , y¢ (0)= 4.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ – 2 y¢ + 5 y = x e x cos 2x – x 2 e x sin 2x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ + 4 y = ctg 2 x .¢

5. Решить системы:  a)        b)

Вариант 3

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

a) x y + y 2 = (2 x 2 + x y ) y¢;      b) y¢ + ;

c) ( 2 y - 3 ) dx + ( 2 x + 3 y 2 ) dy = 0;

d) x 2  dx + ( y + 1 ) dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

a) x y¢¢ –y¢ = x 2 e x , y (0) = -1 , y¢ (0) = 0;

b) y¢¢ – y¢ - 6 y = 5 e 3x  , y (0) = 2, y¢ (0) = 2.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ – 4 y¢ + 4 y = 2 sin 2x – ( x – 1 ) e 2x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ + y = 24 sin 4 x .¢

5. Решить системы:  a)         b)

 

Вариант 4

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциаль-ного уравнения первого порядка:

а) x y y¢  = y 2 + 2 x 2;      b) x y¢ -  y = x 2 cos x;

с) (e y+ y e x + 3) dx - (2 – x e y – e x ) dy = 0;

d) y dx - x dy + ln x dx = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) y¢¢ – e y ¢ = 0 , y (0) = 0 , y¢ (0) =1;

b) y¢¢ – 8 y¢ + 20 y = 5 x 2 + 6 x +, y (0) = , y¢ (0)=.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ – 6 y¢ + 9 y = 2 e x sin 3x - x e 3x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ - y¢  = e 2x

5. Решить системы:  a)       b) .

 

Вариант 5

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

            a) (8 y + 10 x) dx + (5 y + 7 x) dy = 0;   b) x y¢ - 2 x 2  = 4 y ;

            c) ( x + sin y ) dx + ( x cos y + sin y) dy = 0;

            d) y dx – ( x + y2) dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) y¢¢ –  = x ( x – 1 ) , y (2) = 1 , y¢ (2) = -1;

b) y¢¢ – 6 y¢ + 9 y = x e 2x , y (0) =2, y¢ (0)= 3.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ + 4 y¢ = 3 x cos 2x – 2 x + 1 .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

 y¢¢ - y¢  = 

5. Решить системы:  a)         b) .

 

Вариант 6

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

а) x y¢  sin  + x = y sin ;  b) y¢ + 2 x y = x ;

с) (y + e x sin y ) dx + ( x + e x cos y ) dy = 0;

d) (x 2 cos x – y ) dx + x dy = 0.

2).Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

а) 2 y y¢¢ = 3 + ( y¢ ) 2  , y (1) = 1 , y¢ (1) = 1;

b) y¢¢ – 7 y¢ + 10 y = 6 e 2x , y (0) = 0 , y¢ (0)= 1.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ + 4 y¢  + 13 y = x sin 3x + 2 x e - 2x cos 3x  .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ + 4 y = sin x cos 2x.¢

5. Решить системы:  a)      b)  .

Вариант 7

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

            a) ;   b) ;

            c) ;

            d) = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

a)  y¢¢ + = x 2 , y(1) = , y¢ (1) = ;

            b) y¢¢ – 2 y¢ + 5 y = x e 2x  , y (0) = 0, y¢ (0) = 0.

3. По виду правой части определить форму частного решения

            y¢¢ + 25 y =  x e x cos 5x + x sin 5x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ + 4 y =  .¢

5. Решить системы:  a)    b) .

 

Вариант 8

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

a) ;        b) y¢ +  = 2 ln x +1;

c) (2 x + ;

d) x dx = (x dy + y dx) .

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

a) 2 y y¢¢ + y 2 – ( y¢ ) 2 = 0 , y(0) = y¢ (0) = 1;

b) y¢¢ – 6 y¢ + 8 y = 4 x 2 + 2 x , y (0) = 1 , y¢ (0)= 3.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ – 2 y¢ + 17 y = x sin 4x + x 2 e x sin 4x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ + 4 y =

5. Решить системы:  a)          b) .

 

Вариант 9

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

a) ( t – S ) dt + t dS = 0;   b) y - y¢ cos x = y 2 cos x ( 1 – sin x );

c) 2( 3x y 2+ 2 x 3) dx + 3( 2 x2 y + y 2 ) dy = 0;

d) ( x 2 – y 2 + 1 ) dy + x y dx = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

a) ( 1+x 2 ) y¢¢ + (y¢ ) 2 + 1 = 0 , y(0) = y¢ (0) = 1;

b) y¢¢ + y¢ - 12 y = 14 e 3 x  , y (0) = 0, y¢ (0)= -5.

3. По виду правой части определить форму частного решения

y¢¢ – 4 y¢ + 8 y =2 x sin 2x – x 2 e 2 x sin 2x .

4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

y¢¢ + 3 y¢ + 2 y  =

5. Решить системы:  a)        b) .

 

Вариант 10

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

a) x y 2 dy= ( x 3 + y 3 ) dx;     b) y¢ - ;

c) ;

d) ( 2 + 2 x – y 2 ) dx – 2 y dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

            a) y¢¢ = e 2 y , y (0) = 0 , y¢ (0) =1;

            b) y¢¢ +  y = cos 3x , y, y¢ .

      3. По виду правой части определить форму частного решения

            y¢¢ – 4 y¢ + 3 y = 2 x 2 e x + x + 2.

      4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

            y¢¢ - 2 y¢ + y =

     5. Решить системы:  a)      b) .

Вариант 11

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

            a) y¢ =;     b) y¢ + 4 x y = 2 x ;

            c) ( 2 x + y ) dx + ( x - 4 y) dy = 0;

            d) ( 2 x y 2 – y ) dx + ( x + y +y 2 ) dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

            a) x y¢¢ – 2 y¢ = 2 x 4  , y(1) = 1/5 , y¢ (1) = 4;

            b) y¢¢ + 8 y¢ + 16 y = ( 5 x -3) e x , y (0) = -1/5, y¢ (0) = 2.

      3. По виду правой части определить форму частного решения

            y¢¢ + 4 y¢ + 5 y = 2 x – 1 + 7 e -2x cos x .

     4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

            y¢¢ + 4 y¢ + 4 y = e - 2 x ln x .

     5. Решить системы:

            a)         b) .

Вариант 12

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка:

            a) y¢ =;    b) y¢ = y ctg x +;

            c) ( 5 x 4 y 2   + e x ) dx + ( 2 x 5 y - sin y) dy = 0;

            d) ( e 2x – y 2 ) dx + y dy = 0.

2. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

a) y 3 y¢¢ = 3,  y(1) =1,  y¢ (1) = 1;

            b) y¢¢ + 4 y¢ - 21 y = 2 e -7x ,  y (0) = 0 , y¢ (0) = 4/5.

3. По виду правой части определить форму частного решения

            y¢¢ + y = 2 cos x - x e -x + 1.

Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение линейного неоднородного уравнения

             y¢¢ + y =  ¢

5. Решить системы:

            a)        b) .