Название: Самостоятельные и контрольные работа по специальным разделам высшей математики - (Г.И. Анохина)

Жанр: Экономика

Просмотров: 894


Контрольная  работа  №1 по теории  вероятностей

 

Вариант 1

 

Совместны  ли события   и ? (Ответ обосновать)

Для изготовления нужной детали ученику выдано 6 заготовок, которые он обрабатывает одну за другой. События Ai – i-ая заготовка испорчена, Выразить через эти события событие С ={ученик использовал не более половины заготовок}.

Имеется 5 билетов по 10 рублей, 3 билета по 30 рублей и 2 билета по 50 рублей. Наугад покупается 3 билета. Найти вероятность того, что хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость.

В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит x.

Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8, семеро с вероятностью 0,7, четверо с вероятностью 0,6 и двое с вероятностью 0,5, Наугад выбранный стрелок выстрелил и не попал по мишени. Найти вероятность того, что этот стрелок из 1-ой подгруппы.

Вероятность попадания в мишень равна 0,001. Какова вероятность того, что при 5000 выстрелов будет не менее  двух попаданий?

 

Вариант 2

 

Найти событие  X из равенства , где  A и B - известные события.

Пусть A, В, С и D – произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что из A, B, C, D произошли A  и  C, а B и D не произошли.

 В колоде 36 карт четырех мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе карты одной масти.

На отрезке [0, 1] наудачу поставлена точка M которая делит этот отрезок на две части. Найти вероятность того, что длина большей части  не превосходят a=0,75.

У холостяка в среду вечером было в ящике 10 штук носков одного цвета, из них 6 чистых. В четверг утром он надел наугад два 2 носка, а вечером бросил их в ящик к остальным. Найти вероятность того, что в пятницу утром, выбирая наугад, он наденет два чистых носка.

Вероятность хотя бы одного появления события А при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А при каждом опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

 

Вариант 3

 

Каково условие несовместности событий  А+В и +B?

Пусть А, В, С и D – произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что  произошли только три из этих событий..

Батарея из трех орудий ведет огонь по пяти самолетам. Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все три орудия будут стрелять по одной цели.

Наугад взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не более 2. Определить вероятность того, что их сумма не больше 1, а частное у/х не более 2.

Брошено две игральные кости. Преполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на пять.

При автоматической прессовке пластмассовых изделий 2/3 их общего числа не имеют зазубрин. Найти вероятность того, что из 450 взятых наудачу изделий с зазубринами окажется не менее 280 и не более 320.

 

Вариант 4

 

Пусть А и В – произвольные события. Упростить событие (A+B)(.

Прибор состоит из двух блоков  I типа и трех – II типа. События Аk  (к=1,2)- исправен k-ый блок I типа, События Bj (j=1,2,3) – исправен j-ый блок II типа. Событие C- прибор исправен, что означает, что исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2-х блоков II типа. Выразить C через Аk и Bj.

На шести карточках написаны буквы А.А.А.Н.Н.С. Карточки выкладываются в ряд в произвольном порядке. Найти вероятность того, что получится ялово АНАНАС.

На отрезке АВ длины 3 см наудачу поставлены две точки M и N. Найти вероятность того, что точка M будет ближе к точке N, чем к точке А.

Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что экспертизу проводил первый товаровед.

Какова должна быть вероятность попадания при каждом из 10 независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9  имело место хотя бы одно попадание.

 

Вариант 5

 

Найти событие Х из равенства , где А и В – данные события.

Пусть А, В, С и D – произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что  произошло хотя бы одно из этих событий..

На 10 карточках написаны различные цифры от 0 до 9. Найти вероятность того, что наудачу образованное с помощью этих карточек двузначное число делится на 18.

Стержень длиной 200 мм наудачу ломается на три части. Определить вероятность того, что расстояние между точками излома не превосходит 10мм.

Два игрока поочередно извлекают (без возвращения) шары из урны содержащей 2 белых и 4 черных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность выигрыша первого игрока.

Вероятность появления события А в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что частота появления события А отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

 

Вариант 6

 

ПустьА и В – произвольные события. Упростить событие

.

Страховые компании интересуются распределением возрастов супружеских пар. Пусть событие А- мужу больше 40 лет, событие В - муж старше жены и событие С – жене больше 40 лет. Выяснить смысл событий а) АВС, в) .

В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекается 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.

На отрезке OA  длиной 10см наудачу поставлена точка B. Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину больше, чем 10/3.

В правом кармане имеется 3 монеты по 1 рублю и 3 монеты по 50 копеек, а в левом – 6 по 1 рублю и 3 по 50 копеек. Из правого кармана в левый перекладывается одна монета, а затем из каждого кармана вынимается наудачу по одной монете. Найти вероятность того, что будут вынуты монеты одного достоинства.

Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании двух монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся два  “орла”.

 

Вариант 7

 

Установить, верны ли соотношения между событиями: a),

b) ?

По мишени производится три выстрела. События  Ai –(i=1,2,3)– попадание при i-ом выстреле. Выразить через Ai  событие, состоящее в том, что в мишени будет не менее двух попаданий.

Имеется две урны. В первой 5 белых и 6 черных шаров, во второй 7  белых и 4 черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что хотя бы один шар  белый.

В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит a.

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в самолет равна 0,6 при каждом выстреле. При одном попадании самолет поражается с вероятностью 0,4, при двух – 0,7, при трех – с вероятностью 0,9. Определить вероятность поражения самолета.

Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не менее 75 и не более 90 раз. (Использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа).

 

Вариант 8

  

Пусть А и В – произвольные события. Упростить события  a)

b) .

Пусть А, В и С– произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что  произошло не более двух событий.

На десяти карточках написаны цифры от нуля до девяти. Наугад одновременно берут две карточки. Найти вероятность того, что одно из них будет меньше 6, а другое больше 6,

На отрезке длиной 2см наугад поставлены две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше 4/3?

На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-либо сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха,- то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

 Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна 0,2. Найти наименьшее число независимых испытаний n, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что частота появлений события А отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.

 

Вариант 9

 

Найти событие  X из равенства , где  A и B - известные события

При игре в бридж 52 карты сдаются четырем игрокам по 13 карт каждому. Пусть  NK, где к=1,2,3,4- событие, состоящее в том, что первый игрок получил по крайней мере k тузов. Пусть Sk , Ek, Wk – аналогичные события для второго, третьего и четвертого игроков. Что можно сказать о числе тузов у четвертого игрока в случае событий a) ,   b) ?

В партии из 100 одинаковых по виду изделий смешаны 40 изделий I сорта и 60 – второго. Найти вероятность того, что взятые наудачу 2 изделия окажутся разных сортов.

На паркет, составленный из квадратов со стороной a, случайно бросается монета радиуса r  (2r<a). Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного квадрата.

В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

Вероятность попадания в десятку при одном выстреле равна 0,2. Сколько нужно произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в десятку хоть один раз?

 

Вариант 10

 

Найти два события  A и B из пространства элементарных событий W, если известно, что для любого события X верно равенство .

По мишени производится два выстрела. Образуют ли полную группу события C1={хотя бы одно попадание} и C2={хотя бы один промах}.

На автомобильной стоянке 12 мест расположены в один ряд. На стоянке случайным образом размещены 8 автомобилей. Какова вероятность того, что 4 пустых места следуют одно за другим.

В прямогульник со сторонами 1 и 2 наудачу брошена точка А. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до любой стороны квадрата не превосходит 1,5.

Известно, что 96\% выпускаемой фабрикой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль удовлетворяет стандарту.

Электростанция питает сеть с 10000 ламп. Вероятность включения каждой из ламп в зимний вечер равна 0,7. Определить вероятность того, что число одновременновключенных ламп будет лежать между 6900 и 7100.

 

Вариант 11

 

Пусть А и В – произвольные события. Упростить событие .

Пусть А, В, С и D – произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что  произошло по крайней мере три события.

10 вариантов контрольной работы (каждый на отдельной карточке) случайным образом распределяется среди 8 студентов, причем каждый получает по одному варианту. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными.

Наудачу взяты 2 положительных числа х и у, причем х<1 и y<2. Найти вероятность того, что произведение этих чисел будет не больше 1.

При взрыве снаряда образуются осколки – крупные, средние и мелкие, причем, число крупных, средних и мелких осколков составляет 10\%, 30\% и 60\% общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний - с вероятностью 0,2, мелкий - с вероятностью 0,05. В броню попал осколок и пробил ее. Найти вероятность того, что это был средний осколок.

При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков: a) не будет искажено, b) содержит хотя бы одно искажение, c) содержит не менее двух искажений?

 

Вариант 12

 

Пусть А , В и С – произвольные события и . Упростить событие  .

При игре в бридж 52 карты сдаются четырем игрокам по 13 карт каждому. Пусть  NK, где к=1,2,3,4- событие, состоящее в том, что первый игрок получил по крайней мере k тузов. Пусть Sk , Ek, Wk – аналогичные события для второго, третьего и четвертого игроков. Что можно сказать о числе тузов у четвертого игрока в случае событий a) ,           ?

В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, найти вероятность того, что покупатель заказал по два вида пирожных.

В круге  наугад выбирается точка. Найти вероятность того, что сумма ее координат будет больше 2.

Брошено две игральные кости. Положим As={число очков, выпавшее на первой кости, делится на s}, Cs={сумма очков, выпавших на первой и второй костях, делится на s}. Выяснить, зависимы или независимы события : a) A2 и C2;  b) A4 и C4.

По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №2

ПО ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Вариант 1

 

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шаров, извлекаются шары до тех пор, пока не появится белый шар. числа вынутых черных шаров.

Дана плотность непрерывной случайной величины ξ :

Найти коэффициент А, математическое ожидание , функцию распределения  и вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на  π/4.

Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами a=-2,σ=1. Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = 4ξ-5, Eη, Dη.

 

Найти коэффициент корреляции двумерной дискретной случайной величины (ξ, η):

ξ

Η

1

2

3

1

1/18

1/12

1/36

2

1/9

1/6

1/18

3

1/6

1/4

1/12

 

Вариант 2

Среди 10 приборов имеются 4 неточных. Найти закон распределения числа точных приборов среди наудачу отобранных 5 приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Непрерывная случайная величина ξ задана функцией распределения Найти А и В, плотность распределения вероятностей  и вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на 1.

Непрерывная случайная величина имеет показательное рапределение с плотностью Найти плотность распределения вероятностей сл. величины

Двумерная непрерывная сл.  величина (ξ, η) задана плотностью  Найти параметр А, функцию распределения , плотности случайных величин ξ и η. Будут ли сл. величины независимы.

 

Вариант 3

Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, имеющей функцию распределения

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет график

 

 

Найти параметр А, записать выражения для плотности и функции ираспределения. Найти матем. ожи-дание случайной величины

Ребро куба – это непрерывная сл.  величина ξ, распределенная равномерно в интервале (0,1). Найти плотность распределения вероятностей сл.  величины  - объема куба.

Дан закон распределения двумерной дискретной случайной величины (ξ, η)

ξ

η

1

5

7

2

0,08

0,15

0,05

4

0,18

0,20

0,08

11

0,10

0,12

0,04

Найти математические ожидания Eξ и Eη и условный закон распределения сл. величины η при условии, что случайная величина ξ приняла значение ξ=1.

Вариант 4

Производится три независимых выстрела по мишени, Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,4. Составить ряд распределения, найти матем. ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень.

Дан закон распределения дискретной случайной величины ξ:

ξ

π/4

π/2

3π/4

p

0,2

0,7

0,1

 

Найти матем.  ожидание E() и построить график функции распределения сл.  величины

Дана плотность распределения  вероятностей двумерной случайной величины (ξ, η)

   где 

Найти параметр с, одномерную плотность  и вероятность Р(ξ<-1; η>0).

 

Вариант 5

Испытуемый прибор состоит из трех элементов. Вероятность отказа для элемента с номером  j равна pj = 0,2 + 0,1·(j - 1), j=1,2,3. Определить математическое ожидание числа отказавших элементов, если отказы независимы.

Задана плотность распределения вероятностей Найти параметр С, функцию распределения и третий центральный момент

.Случайная величина ξ распределена равномерно в интервале  Найти плотность распределения случайной величины  и ее матем.  ожидание.

Дана функция распределения двумерной непрерывной случайной величины (ξ, η)

Найти одномерные плоьности распределения вероятностей , вероятность и коэффициент корреляции

 

Вариант 6

Подлежит исследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,09. Найти найти матем. ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла..

 

По заданной функции распределения непрерывной случайной величины найти параметр А, плотность распределения вероятностей , матем. ожидание  и .

Основание равнобедренного треугольника – случайный отрезок ξ- длина которого распределена на отрезке [0,5]. Найти матем. ожидание случайной величины η – угла при вершине треугольника, если боковая сторона треугольника равна 5 см.

Дано распределение двумерной дискретной случайной величины

η

ξ

3

6

10

0,25

0,10

14

0,15

0,05

18

0,32

0,13

Найти корреляционный момент (ковариацию) Kξη.

 

Вариант 7

Прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов независимы, а их вероятности (отказов) равны соответственно p1 =0,1, p2=0,2 и  p3=0,3. Определить математическое ожидание числа отказавших элементов.

Случайная величина ξ равномерно распределена на промежутке [a, b]. Найти a и b, если математическое ожидание . Найти к-ый центральный момент .

Дискретная случайная величина ξ имеет распределение

 

ξ

1

2

3

n

p

1/2

Найти закон распределения и среднее значение сл. величины .

Дана плотность распределения вероятностей двумерной дискретной сл. величины

Найти параметр с и  вероятность

 

Вариант 8

Дискретная случайная величина ξ может принимать три значения  Найти вероятности  если

По заданной плотности распределения вероятностей

 

 

Найти параметр A, функцию распределения  и вероятность

 

Случайная величина ξ равномерно распределена с параметрами a=2, σ = 5.Найти плотность распределения вероятностей, матем.  ожидание и диспперсию сл.  величины .

Дано распределение двумерной дискретной сл. величины

η

ξ

1

2

3

1

1/18

1/12

1/36

2

1/9

1/6

1/18

3

1/6

1/4

1/12

Найти законы распределения случайных величин ξ,η, и ς=ξη.

 

Вариант 9

Из большой партии, содержащей 10\% нестандартных деталей, наудачу извлекаются 3 детали. Найти закон распределения, матем. ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины при этом известно, что Найти параметры А,В и λ, плотность распределения вероятностей, матем.  ожидание и дисперсию.

Ножки циркуля каждая длиной 10см., раздвинуты на угол φ. Случайная величина φ равномерно распределена на отрезке [0,π]. Найти среднее значение (матем. ожидание) расстояния между остриями ножек.

ξ и η независимые случайные величины с законами распределения

 

 

ξ

1

3

8

p

0,3

0,3

0,4

 

η

0

2

5

P

1/6

1/2

1/3

 

 

Составить закон их совместного распределения и найти вероятность P(0<ξ-η5).

 

Вариант 10

Производится два независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания при одном выстреле 0,6. Случайная величина ξ – разность между числом попаданий и числом промахов. Найти закон распределения случайной величины ξ, ее математическое ожидание и дисперсию.

Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины ξ           Найти коэффициент А, функцию распределения матем.  ожидание и вероятность .

Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины если плотность распределения сл.  величины ξ:

.   Непрерывные случайные величины ξ и η независимы и их плотности распределения вероятностей : Найти  двумерную плотность распределения вероятностей  и вероятность P((ξ, η)äD) , где D={(x, y):

 

Вариант 11

Производится два независимых опыта, в каждом из которых с равной вероятностью может быть получено одно из целых чисел 0,1, 2. Найти закон распределения случайной величины ξ – суммы полученных чисел в результате двух опытов.

Задана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины  Найти А и  В,плотность распределения вероятностей и вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не ьолее, чем на среднее квдратическое отклонение.

Непрерывная сл. величина ξ имеет полтность распределения вероятностей  Найти плотность распределения сл. величины

Задана функция распределения двумерной непрерывной случайной величины (ξ, η)

Найти двумерную плотность распределения вероятностейи вероятность  

 A(0,0), B(0, 1), C(1, 1).

 

Вариант 12

Дискретная случайная величина может принимать три значения: 0, 2, 3. Известно,что Eξ = 2,  = Dξ =1. Найти закон распределения ξ, коэффициент асимметрии   и коэффициент эксцесса

2.       

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет график

Найти параметр А, функцию распределения, и вероятность

Случайная величина ξ – результат приближенного измерения диаметра круга – равномерно распределена на отрезке [0,6]. Найти матем.  ожидание сл.  величины η- площади круга.

Дан закон распределения двумерной дискретной случайной величины

 

η

ξ

20

40

60

10

λ

0

20

30

λ

Найти λ и ковариацию (корреляционный момент)  Kξη.

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА  №3

по математической статистике

 

Вариант 1

 

Произведено 10 измерений дальности Z до цели

1

<\/a>") //-->