Название: Теория и преобразование сигналов в оптических системах - учебное пособие (Дубнищев Ю.Н.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1293


2.3. линза как квадратичный фазовый фильтр

Преобразование пространственно-когерентных оптических сигналов. Описание дифракционных явлений интегралом суперпозиции указывает на возможность применения элементов теории линейных систем в оптике. Это следует из общего вида волнового уравнения, описывающего распространение света в среде. Использование интеграла суперпозиции выявляет важнейшее свойство линейной системы, состоящее в том, что она полностью определяется импульсным откликом :

                .            (2.43)

Импульсный отклик описывает выходной сигнал в точке , когда входным сигналом является d-функция в точке . В оптике импульсный отклик часто называют функцией рассеяния. В решениях дифференциальных уравнений импульсному отклику соответствует функция Грина.

Из линейных оптических систем особо выделяются пространственно-инвариантные (изопланарные) системы, для которых импульсный отклик зависит только от разности координат:

                .

Пространственно-инвариантные системы преобразуют входной сигнал вида  в выходной  для всех . Например, изображение источника, создаваемого изопланарной системой, при неизменной форме меняет только свое положение, если источник в предметной плоскости перемещается. Условие пространст-венной инвариантности редко выполняется для реальных оптических систем полностью по входной и выходной плоскостям. Однако пространственная инвариантность имеет место в пределах малых областей, называемых изопланарными участками. Для полного описания системы достаточно разбить предметную плоскость на изопланарные участки, определив для каждого из них свой импульсный отклик. Интеграл суперпозиции (2.43) в случае пространственно-инвариантных систем принимает форму свертки входного сигнала и импульсного отклика:

                . (2.44)

Анализ пространственно-инвариантных систем значительно упрощается с введением понятия когерентной передаточной функции. Основным свойством таких систем является то, что свертке сигнала с импульсным откликом в координатном пространстве соответствует произведение фурье-образа входного сигнала и передаточной функции в пространственно-частотной области. При этом предполагается,  что масштабы пространственных частот входного и выходного сигналов согласованы:

                .       (2.45)

Здесь  – фурье-образ выходной функции ;  – фурье-образ функции ;  фурье-образ импульсного отклика;  – пространственная частота. Функция  называется когерентной передаточной функцией системы. По аналогии с (2.45) легко показать, что фурье-преобразование свертки в координатном пространстве соответствует произведению фурье-образа одной функции на комплексно-сопряженный фурье-образ другой:

               

                                (2.46)

В соответствии с (2.46)  для автосвертки  сигнала можно записать

               

                .  (2.47)

Преобразование пространственно-некогерентных оптических сигналов. До сих пор мы говорили об оптических системах, линейно отображающих комплексную амплитуду входного сигнала в комплексную амплитуду выходного. Это относится к случаю, когда оптические сигналы пространственно-когерентны, поэтому и система называется когерентной. Если же входной сигнал не является пространственно-когерентным, импульсные отклики в выходной плоскости для пространственно разнесенных точечных источников статистически независимы. В этом случае оптическая система, линейно преобразующая интенсивность входного сигнала, называется некогерентной. Импульсный отклик  некогерентной системы пропорционален квадрату модуля когерентного импульсного отклика:

                .           (2.48)

Соответственно интенсивность выходного сигнала определяется сверткой интенсивности входного сигнала с некогерентным импульсным откликом:

                .       (2.49)

Для пространственно-инвариантной системы можно определить передаточную функцию

               

                ,    (2.50)

которая называется оптической передаточной функцией (ОПФ). Она является фурье-образом импульсного отклика некогерентной изопланарной системы. По аналогии с (2.45) можно получить, что фурье-образ интенсивности выходного сигнала равен произведению фурье-образа интенсивности входного сигнала

на ОПФ:

                .    (2.51)

Связь между ОПФ и КПФ находится из выражения, определяющего фурье-преобразование автосвертки:

                .             (2.52)

 

Рис. 2.8

Найдем импульсные отклики некоторых оптических элементов.

На рис. 2.8 изображена оптическая система, линейно преобразующая сигнал, заданный в плоскости , в выходной сигнал, формируемый в плоскости . В этой системе сигнал проходит через оптический элемент, расположенный в плоскости . В дальнейшем  будем широко пользоваться функциями вида

                ,              (2.53)

где р – действительная или комплексная величина. Очевидно, что . Поместим во входную плоскость точечный источник, координаты которого . Поле точечного источника в плоскости, локализованной непосредственно перед оптическим элементом, в приближении Френеля описывается импульсным откликом свободного пространства (2.34):

                .           (2.54)

Здесь и далее используется обозначение функции (2.53), где . Пусть функция j (x, y) определяет амплитудное и фазовое пропускание исследуемого оптического элемента. Поле непосредственно за элементом можно описать выражением

                .

Импульсный отклик пространства между оптическим элементом и плоскостью анализа  представим с учетом (2.53) и (2.54) в виде

                ,

где . Поле в выходной плоскости определяется интегралом суперпозиции

                .

После преобразований с учетом (2.53) получаем

               

                ,   (2.55)

где  Для установления явного вида функции j (x, y) необходима дополнительная информация о свойствах исследуемого оптического элемента. Найдем условия, при которых рассматриваемая система является пространственно-инвариантной. Например, выберем в качестве выходной плоскости системы плоскость изображения входного сигнала. Пусть оптический элемент с неограниченной апертурой пространственно-инвариантно отображает с точностью до фазовых множителей  и  точку, заданную в предметной плоскости, в инвертированную относительно оптической оси точку на плоскости изображения. В этом случае можно записать

                .

(2.56)

 

Уравнение (2.56) удовлетворяется при . Отсюда находим

                .

Следовательно, оптический элемент в рассматриваемой системе выполняет фазовое преобразование

                ,  (2.57)

где Ф удовлетворяет условию

                .                (2.58)

Видно, что (2.58) является известным условием формирования изображения тонкой линзой, оптическая сила которой , где f – фокусное расстояние. Тогда Г принимает смысл линейного коэффициента передачи (увеличения) оптической системы. Следовательно, тонкая линза осуществляет квадратичное фазовое преобразование сигнала. Исследуем свойства линзы как оптического элемента, линейно преобразующего комплексную амплитуду сигнала. Подставляя (2.57) в (2.55), получаем выражение для импульсного отклика тонкой линзы с неограниченной апертурой

               

                ,

(2.59)

 

где . При Q = 0 входная и выходная плоскости являются соответственно предметной и плоскостью изображения. Импульсный отклик в этом случае запишем так:

               

      .                (2.60)

 

Пространственная инвариантность функции рассеяния (2.60) нарушается присутствием квадратичных фазовых множителей  и .

Как видно из (2.59), импульсный отклик тонкой линзы с неограниченной апертурой определяется через фурье-преобразование гауссовой функции . Известно, что фурье-образ гауссовой функции имеет также гауссову форму:

                .                (2.61)

Учитывая это, для импульсного отклика (2.59) получаем

               

                .     (2.62)

Когерентный импульсный отклик линзы в общем случае не может быть представлен в пространственно-инвариантной форме из-за присутствия квадратичных фазовых множителей. Если на входе системы сформирован сигнал , выходной сигнал, согласно (2.44), равен

                .      (2.63)

 

Рис. 2.9

Обратимся снова к выражению (2.59), описывающему импульсный отклик, и исследуем, при каких условиях тонкая линза является пространственно-инвариантной системой. При Q = 0, когда выходная плоскость совпадает с плоскостью изображения входного сигнала, пространственная инвариантность когерентной системы нарушается квадратичными фазовыми множителями  и . Компенсация этих фазовых множителей может быть осуществлена в оптической схеме (рис. 2.9), где пространственная инвариантность достигается за счет помещения в плоскостях  и  компенсационных линз (1 и 3), фокусные расстояния которых выбираются соответственно равными  и . При этом импульсный отклик системы приводится к пространственно-инвариантному виду

                .       (2.64)

Рассмотрим влияние конечных размеров апертуры линзы на ее свойства. Пусть функция P (x, y) описывает апертуру линзы. Найдем импульсный отклик для системы, изображенной на рис. 2.9:

               

               

Для цилиндрически симметричной системы P (x, y) = circ (2r/d), где d – диаметр линзы. Преобразование Фурье такой апертурной функции имеет также круговую симметрию:

                .        (2.65)

Здесь ;  – функция Беселя. Импульсному отклику (2.65) соответствует КПФ

                .             (2.66)

Из выражения (2.65) для импульсного отклика следует, что когерентная оптическая система, показанная на рис. 2.8, сохраняет пространственную инвариантность и при конечной апертуре линзы. Разрешение этой оптической системы, согласно (2.65), определяется с точностью до постоянного множителя функцией

                ,        (2.67)

где  – максимальная пространственная частота, пропускаемая системой. Поскольку выходной сигнал пространственно-инвариантной системы описывается сверткой входного сигнала с импульсным откликом, каждый точечный источник во входной плоскости трансформируется на выходе системы в пятно, размер которого принимается равным расстоянию между нулями функции (2.67)  ().

Для рассмотрения преобразования интенсивности светового сигнала системой, показанной на рис. 2.8, следует найти ее некогерентный импульсный отклик и ОПФ по формулам (2.48) и (2.50), учитывая (2.63) и (2.64). Эта оптическая система сохраняет пространственную инвариантность при отображении интенсивности некогерентных сигналов.

Таким образом, линза в общем случае преобразует оптический сигнал как квадратичный фазовый фильтр.