Название: Теория и преобразование сигналов в оптических системах - учебное пособие (Дубнищев Ю.Н.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1293


2.4. оптическое преобразование фурье

В зависимости от расположения плоскости, в которой локализован входной сигнал, и плоскости его регистрации линза может выполнять различные функции (рис. 2.10). При условии D1 = Ф импульсный отклик (2.62) принимает вид

,

(2.68)

где ,  – круговые пространственные частоты.

Рис. 2.10

 

Таким образом, если выходной сигнал регистрируется в задней фокальной плоскости (рис. 2.11), то он с точностью до квадратичного фазового множителя представляет собой фурье-образ входного сигнала. Из (2.63) с учетом (2.62) и (2.68) имеем

                    (2.69)

Подпись:  
Рис. 2.11 

Следовательно, в задней фокальной плоскости линзы всегда формируется распределение комплексных амплитуд выходного сигнала, которое имеет вид фурье-образа входного сигнала. С точностью до квадратичного фазового множителя это распределение не зависит от положения плоскости, в кото- рой задается входной сигнал. Квадратичный фазовый множитель  обращается в единицу, если входной сигнал задан в передней фокальной плоскости линзы . В этом случае выходной сигнал является фурье-образом входного сигнала с точностью до постоянного множителя :

               

                .                (2.70)

При этом импульсный отклик имеет вид

                .           (2.71)

Так как сигналы в передней и задней фокальных плоскостях линзы оказываются фурье-сопряженными, эти плоскости называются фурье-плоскостями. Если входной сигнал сформирован в произвольной плоскости, для получения точного фурье-преобразования в задней фокальной плоскости линзы следует поместить другую линзу, компенсирующую в (2.69) квадратичный фазовый множитель . Фокусное расстояние компенсирующей линзы выбирается из условия , откуда . В частности, если входной сигнал задан в плоскости, расположенной вплотную к основной линзе , компенсирующая линза и линза, выполняющая фурье-преобразова- ние, идентичны (рис. 2.12).

Подпись:  
Рис. 2.12 


Преобразование Фурье, реализуемое оптической системой, связывает координатную  и частотную  плоскости. Оно выполняется как разложение пространственной структуры сложного светового сигнала на множество плоских волн, направляющие косинусы которых соответствуют пространственным частотам. Координатная и частотная плоскости в рассматриваемой оптической системе являются фурье-сопряженными, а преобразование Фурье – двумерным. Рассмотрим ситуацию, когда условие D1 = Ф не выполняется. В этом случае импульсный отклик (2.62) описывает ядро интегрального преобразования Френеля. Выходной сигнал (2.63) с точностью до квадратичного множителя и постоянного комплексного коэффициента представляет собой френелевский образ входного сигнала, а импульсный отклик (2.62) с учетом (2.53) принимает вид

               

               

где .

Квадратичный фазовый множитель можно скомпенсировать, поместив в плоскость  тонкую линзу, выполняющую фазовое преобразование . Выходной сигнал в такой системе является френелевским образом входного сигнала с точностью до постоянного комплексного множителя,

                .

Отсюда видно, что система с компенсирующей линзой пространственно-инвариантна. Следовательно, фурье-образ выходного сигнала определяется произведением фурье-образа входного сигнала на когерентную передаточную функцию, являющуюся фурье-образом функции Френеля. Согласно (2.61),

               

               

                .

Преобразование Френеля обратимо, а его повторное применение с комплексно-сопряженным ядром восстанавливает исходную функцию. Преобразование Френеля основано на явлении дифракции Френеля и имеет в оптике такое же фундаментальное значение, как и преобразование Фурье.

Рассмотрим особенности обратного преобразования Фурье в оптике. На рис. 2.13 представлены последовательно расположенные вдоль оптической оси две идентичные линзы с оптически сопряженными фурье-плоскостями. Входной сигнал s (x0, y0) задан в передней фокальной плоскости первой линзы. Согласно (2.70), в задней фокальной плоскости формируется фурье-спектр сигнала

               

                .

Подпись:  
 Рис. 2.13

Вторая линза выполняет обратное фурье-преобразование этого сигнала, сформированного в ее передней фурье-плоскости:

               

Отсюда следует, что обратное преобразование Фурье в оптике выполняется с инверсией координатных осей. В случае, когда фокусные расстояния линз, выполняющих последовательно прямое и обратное преобразования Фурье, не одинаковы, исходный сигнал восстанавливается в инвертированных осях с линейным коэффициентом увеличения Г, равным отношению фокусных расстояний:

               

                ,                (2.72)

где .

В разделе 1.4 обсуждались свойства одномерного преобразования Фурье, поэтому, не повторяясь в доказательствах, приведем основные свойства оптического преобразования Фурье.

Преобразование масштабов. Сжатие сигнала ведет к расширению его спектральной плотности в частотном пространстве. При этом амплитуда спектральной плотности уменьшается обратно пропорционально коэффициенту сжатия. Растяжение сигнала вызывает сжатие спектральной плотности в частотном пространстве и соответствующее увеличение ее амплитуды.

                .   (2.73)

Сжатие (растяжение) масштаба в координатной плоскости вызывает соответственно растяжение (сжатие)  фурье-сопряженной (частотной) плоскости.

Теорема смещения. Смещение сигнала в координатной плоскости соответствует умножению его фурье-образа на фазовый множитель, являющийся линейной функцией частоты:

                ,           (2.74)

а смещение фурье-спектра – умножению сигнала в координатной плоскости на фазовый множитель

                .           (2.75)

Изменение знака в фазовом множителе связано с тем, что при обратном фурье-преобразовании в оптической системе происходит инверсия координатных осей. Инверсия координат в плоскости, где задан сигнал, соответствует смене знака пространственной частоты для фурье-образа сигнала

                .     (2.76)

Операция комплексного сопряжения входного сигнала в координатной области отображается в частотной плоскости как комплексное сопряжение фурье-образа сигнала с одновременной инверсией пространственных частот:

                .        (2.77)

Отсюда непосредственно следует, что действительной и четной функции в координатном пространстве соответствует действительный и четный фурье-образ, а свертке сигналов в координатной плоскости – произведение фурье-спектров в частотном пространстве:

                .             (2.78)

Дифференцирование сигнала соответствует умножению его фурье-спектра на комплексный множитель (jK)n, где n – порядок производной:

                .     (2.79)

Интегрирование оптического сигнала соответствует делению его

фурье-спектра на комплексный множитель jK:

                .                (2.80)

При дифференцировании подавляются спектральные компоненты на низких пространственных частотах и подчеркиваются высокочастотные компоненты, что ведет к оконтуриванию сигнала. Операция интегрирования соответствует подавлению высокочастотных спектральных компонент, в результате чего происходит сглаживание сигнала.