Название: Теория и преобразование сигналов в оптических системах - учебное пособие (Дубнищев Ю.Н.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1232


2.5. оптическое преобразование фурье с переменным масштабом

Подпись:  
Рис. 2.14


Локализация входного оптического сигнала между линзой и плоскостью регистрации. Оптический фурье-анализатор, в котором входная плоскость x0, y0 расположена между объективом и задней фурье-плоскостью, показан на рис. 2.14. Выходной сигнал регистрируется в задней фурье-плоскости. Линза освещается плоской волной. Оптическое поле, падающее на входную плоскость, определяется сверткой импульсного отклика непосредственно линзы с импульсным откликом слоя пространства толщиной f–d. В приближении Френеля и неограниченной апертуры можно записать

                             (2.81)

Учитывая полученное выражение для поля в плоскости x0, y0 и импульсный отклик слоя пространства толщиной d, находим результирующий отклик

               

               

                .

Введем обозначение . Тогда

.

    (2.82)

Из (2.82) видно, что оптическая схема, показанная на рис. 2.14, выполняет фурье-преобразование сигнала с точностью до квадратичного фазового множителя . Квадратичный фазовый множитель устраняется в плоскости xf yf с помощью компенсирующей линзы, фокусное расстояние которой fk = fx. Масштаб фурье-преобразования изменяется за счет выбора параметра . Если

x = 1, то d = f  и

.

   (2.83)

При необходимости квадратичный фазовый множитель можно устранить, если в выходной плоскости установить компенсирующую линзу, идентичную линзе, выполняющей фурье-преобразование. Поскольку

x £ 1, выбор x определяет масштаб сжатия фурье-спектра сигнала в выходной плоскости:

.

   (2.84)

Подпись:  
Рис. 2.15

Оптическая схема, позволяющая расширить предел изменения масштаба фурье-преобразования, представлена на рис. 2.15. Входная плоскость x0, y0 расположена между линзой и плоскостью регистрации x1, y1. Отличительная особенность схемы состоит в том, что поле в плоскости x0, y0 формируется линзой от точечного источника s, расположенного в плоскости x¢, y¢ в точке x¢ = 0, y¢ = 0 на расстоянии d0 от линзы, в отличие от случая, когда источник находится в бесконечности (рис. 2.14).

Поле в плоскости x0, y0 определяется импульсным откликом

               

               

                ,

где . Поскольку источник расположен в точке x¢ = 0, y¢ = 0, получаем с точностью до постоянного коэффициента

                .

Отсюда находим выражение для результирующего импульсного отклика

               

               

               

                .           (2.85)

Для того чтобы перейти в (2.85) от преобразования Френеля к преобразованию Фурье, необходимо соблюдение условия

                , (2.86)

которое в свою очередь выполняется, если , т.е. в выходной плоскости формируется изображение источника. В самом деле

                .

После подстановки этого выражения в (2.86) получаем

                .

Отсюда выражение (2.85) для результирующего импульсного отклика принимает вид

                ,

где  – коэффициент, определяющий масштаб фурье-преобра-зования. Если перейти к коэффициенту , как в выражении (2.82), получаем

.

                  (2.87)

 

Подпись:  
Рис. 2.16

Мы пришли к выражению, идентичному (2.82), однако теперь коэффициент x может принимать значения как меньше, так и больше единицы. Следовательно, схема (рис. 2.16) позволяет выполнять преобразования Фурье не только со сжатием, но и с расширением фурье-спектра, если за исходный пространственный масштаб выбрать значение, соответствующее x = 1.

Рассмотрим наиболее общий случай, когда световое поле, освещающее входную плоскость, является сходящейся сферической (в параболическом приближении) волной с радиусом кривизны волнового фронта R  (рис. 2.16). Сигнал регистрируется в плоскости x1, y1, расположенной на расстоянии d от входной плоскости x0, y0 . Запишем выражение для импульсного отклика

               

                .

После преобразований получим

               

                .

Отсюда видно, что слой пространства толщиной d, входная плоскость которого освещена сферической сходящейся волной, выполняет преобразование Френеля, которое c точностью до квадратичного фазового множителя переходит в преобразование Фурье при условии :

.

(2.88)

Как следует из (2.88), оптическое преобразование Фурье выполняется в сходящемся пучке, если выходная плоскость проходит через центр кривизны волнового фронта светового поля, освещающего входную плоскость.

Подпись:  

Рис. 2.17

Рассмотрим преобразование Фурье с переменным масштабом в случае, когда входная плоскость x0,y0 расположена между источником и линзой (рис. 2.17). В точке x¢ = 0, y¢ = 0 помещен точечный источник светового поля, освещающего входную плоскость x0, y0. Источник расположен на расстоянии d от входной плоскости x0, y0 и d0 – от линзы. Выходной сигнал регистрируется в плоскости x1, y1. Световое поле в плоскости x0, y0, сформированное точечным источником s, описывается выражением

                .

С учетом этого выражение для импульсного отклика оптической системы, ограниченной плоскостями x0, y0 и x1, y1, имеет вид

               

               

                ,

где . После преобразований получим

               

                .

Отсюда видно, что в общем случае в схеме реализуется преобразование Френеля, которое переходит в преобразование Фурье, если выполняется условие

                  (2.89)

или

                .                (2.90)

Действительно, с учетом (2.90) имеем

                .

После подстановки этого выражения в (2.89) получаем

                .          

Следовательно, преобразование Фурье выполняется, если выходная плоскость, согласно (2.90), является плоскостью изображения источника. С учетом (2.89)

               

                .         

Вводя обозначение , где  – линейный коэффициент увеличения при формировании изображения источника, получаем

               (2.91)

Коэффициентом Gx определяется масштаб фурье-преобразования. При Gx < 1,  происходит сжатие фурье-спектра. Если x > 1, , то фурье-спектр растягивается по сравнению с исходным масштабом. Если Gx = 1, то   и .