Название: Теория и преобразование сигналов в оптических системах - учебное пособие (Дубнищев Ю.Н.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1232


2.6. гауссовы пучки и их распространение

Рассмотрим ситуацию, когда распределение амплитудной функ-

ции А (x, y) в плоскости z = 0 является гауссовым,  . После подстановки этой функции в (2.23) получаем выражение для фазовой задержки гауссова пучка на расстоянии Dz от плоскости  z = 0:

                ,         (2.92)

где  – конфокальный параметр гауссова пучка; w0 – радиус перетяжки гауссова пучка, которая локализована в плоскости нулевой кривизны волнового фронта. Полная фаза пучка на расстоянии z от перетяжки равна kz + Dj. Отсюда волновой фронт описывается уравнением  .

Волновой фронт

 

 

Рис. 2.18

 

Фазовое преобразование гауссова пучка на малом расстоянии от плоскости перетяжки показано на рис. 2.18. Решением параксиального волнового уравнения является функция

                .   (2.93)

Из свойства инвариантности относительно трансляции вдоль координаты z, z ® z – z0 следует, что другим решением параксиального волнового уравнения является функция . Эти решения имеют сингулярность в точках . Если формально выбрать переменную z0 мнимой, , то сингулярность устраняется.

Выберем решение параксиального волнового уравнения в виде

                            (2.94)

и отнормируем его, исходя из закона сохранения мощности:

                .

Отсюда следует, что функция (2.94) должна быть умножена на нормировочный коэффициент . Таким образом, решению параксиального волнового уравнения удовлетворяет комплексная амплитуда светового поля

                .               (2.95)

Приводя (2.95) к экспоненциальной форме и разделяя в аргументе действительные и мнимые части, получаем

,             

 (2.96)

где

                ;                (2.97)

                ;   (2.98)

                .           (2.99)

Выражения (2.96) и (2.40) с точностью до постоянного коэффициента совпадают. Решение (2.96) описывает гауссов пучок, распространяющийся в направлении z. Параметры пучка: w – радиус пучка в плоскости на расстоянии z от перетяжки, R – радиус кривизны волнового фронта. Выражения (2.97), (2.98) идентичны формулам (2.41), (2.42), полученным для дифракции Френеля на транспаранте с гауссовой функцией пропускания. Они определяют изменения параметров гауссова пучка при распространении в пространстве. Из (2.97) следует, что гауссов пучок с радиусом перетяжки w0 при распространении по оси z асимптотически ограничивается углом расходимости

                .

Оценим фазовую скорость гауссова пучка. Восстановим в выражении (2.96) экспоненциальный множитель :

                .

Выделим в этом выражении компоненту фазы, зависящую от z: . Отсюда определим эффективное волновое число

               

Следовательно,

                .

Это означает, что фазовая скорость гауссова пучка превышает скорость света

                .

В плоскости перетяжки (z = 0)

                .

Легко показать, что волновое число  равно компоненте волнового числа . Действительно, гауссов пучок образован суперпозицией плоских волн, формирующей пучок с асимптотически ограниченным поперечным размером. Типичные значения x и y компонент волнового вектора таких волн

                .

Из уравнения  следует  , что соответствует величине эффективного волнового числа.

Преобразование гауссова пучка. Мы установили, что гауссов пучок полностью характеризуется комплексным параметром q = z – jR0. Вещественная часть z есть расстояние от рассматриваемого сечения пучка до плоскости локализации перетяжки. Мнимая часть – конфокальный параметр. Вещественная часть обратной величины параметра q есть кривизна волнового фронта

                ,

где w и R определяются выражениями, идентичными ранее полученным (2.41), (2.42), (2.97) и (2.98):

                (2.100)

Здесь w и R – соответственно радиус сечения и радиус кривизны волнового фронта гауссового пучка на расстоянии z от плоскости локализации перетяжки. Для того чтобы знать, как преобразуется гауссов пучок, достаточно выяснить, как преобразуется параметр q.

 

П р и м е р  2.4.  Распространение гауссова пучка в слое свободного пространства толщиной d (рис. 2.19)

Подпись:  
Рис. 2.19

Пусть в плоскости z1 параметр q равен q1 = z1 – jR0. Тогда в плоскости z2 на расстоянии d от плоскости z1 параметр q становится равным , т.е. . Отсюда выводятся все формулы (2.97), (2.98) преобразования гауссова пучка при распространении в свободном пространстве для

z = z1 +d = z2. При распространении в свободном пространстве гауссов пучок сохраняет форму, изменяя фазу, амплитуду и кривизну волнового фронта.

Запишем выражения (2.97), (2.98) в виде

                ,     .

Разделив первое равенство на второе, получаем

                .

Следовательно, при распространении гауссова пучка в пространстве величина  инвариантна и равна единице. Хотя при малых z френелевское приближение не является справедливым, формулы (2.100) правильно описывают параметры гауссова пучка и в этом случае , . В плоскости z = 0 полуширина гауссова пучка имеет минимальную величину  и равна радиусу перетяжки, а волновой фронт – плоский. Как следует из (2.100), на больших расстояниях волновой фронт также стремится к плоскому: .

Определим положение плоскостей, в которых радиус волнового фронта имеет минимальное значение, и найдем величину минимального радиуса из условия экстремума:

                .

Отсюда . Следовательно, минимальный радиус кривизны волнового фронта пучка равен удвоенному конфокальному параметру. Гауссов пучок симметричен относительно плоскости перетяжки. На расстояниях  от плоскости перетяжки радиус кривизны волнового фронта имеет минимальное значение. Радиус соответствующих сечений пучка составляет . Угол расходимости гауссова пучка находится по формуле

                .

Для фраунгоферовой зоны можно асимптотически определить половину угла расходимости гауссова пучка:

                .

Зависимость основных параметров гауссова пучка от z показана на рис. 2.20. Угол расходимости пучка  оказывается меньше угла дифракции  плоской волны на отверстии радиуса . Минимальная расходимость – отличительное свойство гауссова пучка, который является хорошей моделью для описания распределения поля

в лазерном луче.

 

П р и м е р  2.5.  Преобразование гауссова пучка тонкой линзой с фокусным расстоянием  f  (рис. 2.21)

Пусть гауссов пучок  падает слева на тонкую линзу. После прохождения линзы радиус пучка останется неизменным, а фаза j изменится:

                .

Рис. 2.20

 

Здесь учтено, что линза вносит квадратичный фазовый сдвиг . Таким образом, линза изменяет кривизну волнового фронта пучка:

                .

С другой стороны, для параметра q имеем

                .

Отсюда для преобразования параметра q линзой получаем выражение

               

Подпись:  
Рис. 2.21
или

                    .              (2.101)

Пусть z1 – расстояние между плоскостью локализации перетяжки гауссова пучка и линзой (рис. 2.22). Тогда параметр q, характеризующий распространение гауссова пучка на пространственном интервале z, равен

,

Подпись:  
Рис. 2.22
где  – конфокальный параметр. Подставляя в (2.101) значение , получим уравнение для параметра q¢ гауссова пучка, преобразованного линзой:

.

Введем обозначение l0 = z – f. Поскольку  l0 – расстояние между плоскостью локализации перетяжки и передним фокусом линзы, запишем

               

               

Здесь z1 = f + l1  – расстояние между линзой и плоскостью локализации перетяжки преобразованного линзой гауссова пучка, конфокальный параметр которого равен R01. Отсюда следуют выражения для конфокального параметра выходного пучка  и расстояния  между задним фокусом линзы и перетяжкой:

                ,   (2.102)

а также полезные соотношения

                .

При R0 ® 0 перетяжка трансформируется в точечный источник, а соотношения (2.102) принимают вид l1l0 = f 2. В этом случае входная и выходная плоскости оказываются оптически сопряженными.

 

П р и м е р  2.6.  Найти преобразование гауссова пучка зеркалом радиуса Rm.

Отражение гауссова пучка от зеркала с радиусом кривизны Rm эквивалентно преобразованию линзой с фокусным расстоянием . Следовательно, для параметра q¢ отраженного пучка имеем .

 

П р и м е р  2.7.  Найти преобразование гауссова пучка линзой как линейной системой.

Пусть входное поле (2.39):

                .

Импульсный отклик оптической системы в приближении неограниченной апертуры (2.62):

               

Выходное поле (2.43):

                .

После подстановки выражений для  и  получаем

               

Выполним интегрирование:

               

               

                .

Здесь .

Разделяя экспоненты с действительным и мнимым показателями, получим

               

                .

Здесь .

Пусть плоскость локализации перетяжки входного пучка совпадает с плоскостью x1,  y1. Тогда кривизна волнового фронта в этой плоскости равна нулю и выходное поле описывается выражением

                ,

где  – радиус перетяжки выходного пучка;

               

и

                .

Одно из решений второго уравнения  имеет тривиальный смысл: кривизна поля в дальней зоне – нулевая. Другое решение находится из уравнения

                (2.103)

или с учетом выражения для конфокального параметра R01:

                .

Отсюда

                .

Учитывая, что , , где  – расстояние от передней фурье-плоскости до перетяжки входного пучка;  – расстояние от задней фурье-плоскости до перетяжки выходного пучка, находим

                .

Следовательно, отношение конфокальных параметров входного и выходного пучков равно отношению расстояний от перетяжек до соответствующих фурье-плоскостей

                .

Обратимся к равентству (2.103)

               

Выполним преобразования:

                ;

                ;

                ;     ;

                ;

                ;     ;

                ;    ;    .

Откуда

                .

Учитывая, что , находим соотношение между конфокальными параметрами входного и выходного пучков

                .

Полученные формулы идентичны выражениям (2.102). Этого следовало ожидать, поскольку методы теории линейных систем основаны на свойствах и решениях параксиального волнового уравнения.

2.7. Дуальность оптических систем

Пусть оптический сигнал s (x0, y0) задан в плоскости x0, y0. Расстояние между входной и выходной плоскостями составляет z0. Выходной сигнал в плоскости x, y определяется сверткой входного сигнала с импульсным откликом слоя пространства толщиной z0:

,

где . Выполним фурье-преобразование обеих частей этого равенства

               

               

                ,

где .

а                                                           а

 
В частотном пространстве член  можно рассматривать как функцию пропускания линзы, фокусное расстояние которой . Следовательно, если функции sвх (x0, y0) и  описывают поля в двух плоскостях, расположенных на расстоянии z0, то их фурье-образы представляют собой поля непосредственно слева и справа от тонкой линзы с фокусным расстоянием  Таким образом, слой координатного пространства z0 в частотном пространстве (рис. 2.23, а) отображается линзой с эквивалентным фокусным расстоянием  (2.23, б).

б

 
 

б

 
Рис. 2.23                                                         Рис. 2.24         

Рассмотрим случай, когда входной sвх (x0, y0) и выходной sвых (x0, y0) сигналы заданы непосредственно перед и за тонкой линзой, фокусное расстояние которой f:

                .

Выходной сигнал в плоскости непосредственно за линзой определяется произведением входного сигнала на функцию, описывающую линзу как квадратичный фазовый фильтр. Выполняя фурье-преобразование выражения для выходного сигнала непосредственно за линзой, переходим в частотное пространство, где фурье-спектр выходного сигнала представляется сверткой фурье спектра входного сигнала с фурье-спектром квадратичной фазовой функции пропускания линзы. Фурье-спектру этой функции (рис. 2.24, а) можно сопоставить с точностью до множителя импульсный отклик (рис. 2.24, б) слоя частотного пространства толщиной :

                ,

где . Аналогично осуществляется переход из частотного пространства в координатное. Действие линзы с фокусным расстоянием F в частотном пространстве на фурье-спектр оптического сигнала эквивалентно преобразованию сигнала слоем с эквивалентной толщиной  в координатном пространстве. Соответственно действие слоя с толщиной z на фурье-спектр сигнала s (Kx, Ky) в частотном пространстве эквивалентно действию на сигнал s (x, y) линзы с эквивалентным фокусным расстоянием  в координатном пространстве.

Показанная связь между представлениями оптических схем в координатном и частотном пространствах составляет так называемое свойство дуальности оптических систем. Проиллюстрируем это свойство

на примере оптических схем. На рис. 2.25, а показаны две линзы L1 и L2 с фокусными расстояниями f1 и f2 соответственно. P0 и P3 – входная и выходная плоскости системы; ,  и ,  – входная и выходная плоскости тонких линз; z0, z1 и z2 – расстояния между элементами схемы; P3 – выходная плоскость системы. Воспользовавшись свойством дуальности, перейдем от схемы в координатном пространстве (рис. 2.25, а) к эквивалентной ей схеме в частотном пространстве (рис. 2.25, б). Для этого заменим каждую область свободного пространства между плоскостями Pi и Pi+1, (i = 0, 1, 2, 3), расположенными на расстоянии zi друг от друга, линзой с эквивалентным фокусным расстоянием , а каждую линзу L – на слой частотного пространства между плоскостями, расположенными на эквивалентном расстоянии  друг от друга. Таким образом формируется дуальная оптическая схема, показанная на рис. 2.25, б. Если входным сигналом в первой схеме является s (x, y), а во второй – фурье-спектр этого сигнала s (Kx, Ky), то поле в каждой плоскости одной схемы является преобразованием Фурье поля в соответствующей дуальной схеме.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение математической модели физической системы.

2. Что такое стационарная система?

3. Перечислите свойства линейных стационарных систем.

4. Дайте определение импульсному отклику системы.

5. Дайте определение интегралу Дюамеля.

6. В чем состоит отличие интеграла Дюамеля для физически реализуемых систем, преобразующих времязависимые и пространственнозависимые сигналы?

7. Что такое переходная характеристика системы, и как она связана с импульсным откликом?

8. Как связаны частотный коэффициент передачи и импульсный отклик линейной стационарной системы?

9. Как преобразуется спектр сигнала линейной системой?

10. Как преобразуются энергетические спектральные характеристики сигнала линейной системой?

11. Как определяется частотный коэффициент передачи для многозвенных систем?

12. В чем состоит физическое обоснование линейной модели слоя пространства по отношению к пространственнозависимому оптическому сигналу?

13. Как связаны оптические сигналы и их угловые спектры в сечении слоя свободного пространства?

14. Дайте определение импульсного отклика и когерентной передаточной функции свободного пространства?

15. Как связаны импульсный отклик и когерентная передаточная функция?

16. Чем отличаются импульсные отклики слоя свободного пространства в приближениях Френеля и Фраунгофера?

17. Объясните действие свободного пространства как низкочастотного фильтра по отношению к угловому спектру оптического сигнала?

18. Дайте определение пространственно-инвариантной линейной оптической системы.

19. Как преобразуются оптические сигналы линейными системами? В чем отличие линейного преобразования пространственно- и времязависимых сигналов?

20. В чем состоит различие преобразования пространственно когерентных и некогерентных оптических сигналов линейными оптическими системами?

21. Как связаны импульсный отклик и когерентная передаточная функция линейной оптической системы?

22. В чем отличие когерентного и некогерентного импульсных откликов?

23. Как связаны оптическая передаточная функция и когерентная передаточная функция линейной оптической системы?

24. Объясните свойства тонкой линзы как квадратичного фазового пространственного фильтра?

25. Опишите когерентный импульсный отклик тонкой линзы и соответствующую ему физическую модель преобразования оптического сигнала.

26. Как можно компенсировать квадратичные фазовые множители в функции, описывающей оптический сигнал, преобразованный тонкой линзой при произвольном расположении входной и выходной плоскостей?

27. Опишите импульсный отклик и воздействие тонкой линзы на сигнал, когда выходной плоскостью является задняя фурье-плоскость.

28. Когда тонкая линза выполняет чистое преобразование Фурье оптического сигнала?

29. Как влияет конечная апертура линзы на преобразование оптического сигнала?

30. Поясните, как осуществляется линзой оптическое преобразование Фурье с переменным масштабом в случае, когда входной сигнал локализован между линзой и выходной плоскостью.

31. Как выполняется линзой оптическое преобразование Фурье с переменным масштабом в случае, когда входной сигнал локализован между источником света и линзой?

32. Как связаны положение источника света и плоскость, в которой локализован фурье-спектр оптического сигнала?

33. Как преобразуются гауссовы пучки при распространении в свободном пространстве?

34. Поясните, как осуществляется преобразование гауссова пучка тонкой линзой.

35. В чем особенность обратного преобразования Фурье пространственнозависимого сигнала в оптике?

36. В чем заключается дуальность оптических систем?

Задачи к главе 2

2.1. Найти импульсный отклик линейной системы, частотная передаточная функция которой имеет вид  .

 

2.2. Найти переходную характеристику линейной системы, которая приведена в задаче 2.1.

2.3. Импульсный отклик стационарной линейной системы представляет собой затухающую последова- тельность импульсов одинаковой длительности (см. рисунок). Амплитуды импульсов убывают по закону геометрической прогрессии со знаменателем a (0 < a < 1). Определить частотный коэффициент передачи этой системы.

2.4. Найти частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы, импульсный отклик которой имеет вид

               

(an – вещественный коэффициент).

 

2.5. Определить переходную характеристику линейной стационарной системы, приведенной в задаче 2.4.

 

2.6. Плоская волна с длиной волны 0,5 мкм падает на проволоку, натянутую ортогонально волновому вектору. На экране, расположенном перпендикулярно направлению распространения падающей плоской волны на расстоянии 1 м от проволоки, наблюдаются дифракционные полосы, расстояние между которыми 0,5 мм. Найти диаметр проволоки.

 

2.7. В передней фурье-плоскости линзы с фокусным расстоянием f помещен экран с двумя точечными отверстиями, расположенными по оси х на расстояниях ±а от оптичской оси. Экран освещается параллельным пучком света с длиной волны l. Определить распределение поля в задней фурье-плоскости линзы. Решить эту же задачу в случае, если перед одним из отверстий помещена четвертьволновая фазовая пластинка. Конечной апертурой линзы пренебречь.

 

2.8. Экран с прямоугольным отверстием – a £ x0 £ a,  – b £ y0 £ b помещен в передней фурье-плоскости тонкой положительной линзы с фокусным расстоянием f. Экран освещается плоской волной. Найти фурье-спектр светового сигнала. Определить фурье-спектр оптического сигнала для случая, когда экран с отверстием установлен за линзой на расстоянии d от задней фурье-плоскости. Чем отличаются полученные фурье-спектры сигналов?

 

2.9. Найти фурье-спектр оптического сигнала, сформированного в результате дифракции плоской световой волны на прямоугольном фазовом экране

Экран помещен в передней фурье-плоскости тонкой положительной линзы с фокусным расстоянием f и неограниченной апертурой. Длина волны излучения l.

 

2.10. Определить фурье-спектр оптического сигнала, сформированного в результате дифракции плоской световой волны на экране с гармоническим модулированным амплитудным коэффициентом пропускания  Экран помещен за линзой, имеющей неограниченную апертуру и фокусное расстояние f, на расстоянии d от задней фокальной плоскости.

 

2.11. На каком расстоянии d от задней фурье-плоскости положительной тонкой линзы следует установить экран со щелью, параллельной оси y0, чтобы щелевой фильтр размером 2l, помещенный в фурье-плоскость и параллельный оси yf, пропускал только главный лепесток фурье-спектра оптического сигнала. Ширина щели 2а.

2.12. В передней фурье-плоскости положительной тонкой линзы помещен транспарант с пропусканием ,  Транспарант освещен параллельным пучком света с длиной волны l. Определить фурье-спектр оптического сигнала. Фокусное расстояние линзы f, конечным размером апертуры можно пренебречь.

 

2.13. В передней фурье-плоскости тонкой положительной линзы помещен транспарант, пропускание которого описывается функцией

                .

Транспарант освещается параллельным световым пучком с длиной волны l. Фокусное расстояние линзы f, апертура бесконечная. Найти фурье-спектр оптического сигнала. Определить интенсивность фурье-спектра сигнала.

 

2.14. Фурье-спектр транспаранта Т1 был получен с помощью положительной тонкой линзы с фокусным расстоянием f на длине волны излучения l1. Транспарант, отображающий фурье-спектр, помещен в задней фурье-плоскости линзы. Необходимо получить фурье-спектр свертки транспарантов T1 и T2 на длине волны излучения l2 > l1. Где и на каком расстоянии от фурье-плоскости следует поместить траспарант T2, чтобы выравнять масштабы пространственных частот фурье-спектров транспарантов T1 и T2.

 

Подпись:  2.15. В передней фурье-плоскости линзы сформирован сигнал . Определить фурье-спектр сигнала и его интенсивность.

 

2.16. В передней фурье-плоскости тонкой положительной линзы задан сигнал s (x, y), представляющий собой экран, показанный на рисунке. Определить сигнал в задней фурье-плоскости линзы. Фокусное расстояние линзы с неограни-

ченной апертурой равно f.

 

2.17. Показать, что если , то

                .

 

2.18. Пусть линейная система представляет собой последовательное соединение четырех одинаковых звеньев, каждое из которых имеет импульсный отклик  (i = 1, 2, 3, 4). Найти импульсный отклик и амплитудную частотную характеристику системы.

 

2.19. Доказать:

                .

1.20. На входе оптического спектр-анализатора задан сигнал . Найти фурье-спектр сигнала.