Название: Плоские и пространственные кривые. Поверхности - методические разработки (В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1218


1.3. некоторые кривые четвертого и более высокого порядков

 

Конхоида Никомеда

 

Каноническое уравнение: (рис. 12–14).

Полярное уравнение:  при .

Параметры  и .

 

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

 

Улитка Паскаля

 

Каноническое уравнение:  

(рис. 15–17).

Полярное уравнение: при , .

Параметры: . При  кривая называется Кардиоидой.

 

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

 

 

Кардиоида

 

Определение. Кардиоида – это траектория точки, лежащей на окружности круга радиуса , который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом.

Каноническое уравнение:

 (рис. 18).

Полярное уравнение: .

Параметр:.

Кардиоида представляет собой частный случай улитки Паскаля.

 

Некоторые свойства: кривая симметрична относительно оси абсцисс.

 

Каппа

 

Определение. Каппа – это геометрическое место точек касания касательных, проведенных из начала координат к окружности радиуса , центр которой перемещается по оси абсцисс.

Каноническое уравнение:

 (рис. 19).

Полярное уравнение:

.

Параметр: .

 

Некоторые свойства: кривая симметрична относительно осей координат.

 

Прямые линии  являются горизонтальными асимптотами.

 

Овалы Кассини

 

Определение. Овалы Кассини – это геометрическое место точек, произведение расстояний каждой из которых от двух фиксированных точек является величиной постоянной.

Каноническое уравнение:  (рис. 20).

 

 

Рис. 20

 

Параметры:  и . При  кривая называется лемнискатой Бернулли.

Некоторые свойства: кривая симметрична относительно осей координат.

 

Лемниската Бернулли

 

Определение. Лемниската Бернулли – это геометрические места точек, произведение расстояний каждой из которых от двух фиксированных точек является величиной постоянной.

Лемниската Бернулли представляет собой частный случай овала Кассини.

 

Каноническое уравнение:

 (рис. 21).

 

Полярное уравнение:

.

Параметр: .

Некоторые свойства: кривая симметрична относительно осей координат; прямые  являются касательными лемнискаты в начале координат.

 

Астроида (кривая шестого порядка)

 

Определение. Астроида – это геометрическое место точек, лежащих на окружности круга радиуса , катящейся по внутренней стороне другого, неподвижного круга радиуса  ().

Каноническое уравнение:  (рис. 22).

Параметрические уравнения: .

 

Розы

 

Определение. Розами называются кривые, описываемыми в полярной системе координат уравнениями вида  (или ) (рис. 23–28), где  и  – постоянные параметры. В зависимости от значения параметра  различают однолепестковые, двухлепестковые и т.д. розы. На рис. 23–27 приведены эскизы кривых при , а также роза, заданная уравнением  при  (рис. 28).

 

 

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28