Название: Математическая статистика - Методические указания (Л. Н. Ветчакова)

Жанр: Философия

Просмотров: 1209


1.2.3. эффективность

 

Семейство  является регулярным, если выполняются следующие условия:

для любого , , плотность  дифференцируема по , т.е. существует ;

множество  не зависит от .

Неравенство Рао-Крамера. Если выполняются условия регулярности, то для любой несмещенной оценки  параметрической функции  справедливо неравенство

,                                   (1.2)

где  – информационное количество Фишера. Оценка, при которой достигается нижняя граница неравенства (1.2), называется эффективной.

Критерий эффективности  – эффективная оценка , если

  ,                        (1.3)

где  – некоторая функция от , .

Пример 1.6

Пусть  – выборка из распределения Максвелла с функцией плотности , .

Требуется проверить оценку  на несмещенность, состоятельность и эффективность.

Решение

1. Несмещенность

,

 оценка является несмещенной оценкой параметра .

2. Состоятельность

Поскольку  является несмещенной, то нам достаточно исследовать дисперсию оценки .

, ,

 по критерию состоятельности, оценка  является состоятельной.

3. Эффективность

Проверим, достигается ли нижняя граница в неравенстве Рао-Крамера.

Найдем информационное количество Фишера:

 

;

 

,   не является эффективной оценкой .

 

Пример 1.7

Найти функцию , допускающую эффективную оценку для параметра масштаба распределения Вейбулла:

,    , .

Решение

Вероятностная модель является регулярной, так как область определения случайной величины не зависит от параметров и функция плотности дифференцируема по . Поэтому можно воспользоваться критерием эффективности (1.3). Логарифмическая функция правдоподобия и её производная имеют вид:

,

 

.

Отсюда

.

Таким образом, оценка  является эффективной оценкой функции .

 

Достаточные статистики

 

Статистика  называется достаточной для модели , если условная плотность (или условная вероятность в дискретном случае)  случайного вектора  при условии  не зависит от параметра .

Критерий факторизации. Для того чтобы статистика  была достаточной для , необходимо и достаточно, чтобы функция правдоподобия имела вид

,                       (1.4)

где функция  зависит от выборки только через , а функция  не зависит от .

 

Пример 1.8

 

Пусть  – выборка из распределения Рэлея с функцией

плотности , , . Найти достаточную статистику для параметра .

Решение

Воспользуемся критерием факторизации (1.4).

.

Тогда

,    ,

где  – достаточная статистика.