Название: Математическая статистика - Методические указания (Л. Н. Ветчакова)

Жанр: Философия

Просмотров: 1179


2.1. гипотеза о виде распределения

 

Пусть имеется выборка  наблюдаемой случайной величины с функцией распределения .

а) Простой гипотезой является утверждение : =, где  полностью задана.

б) Сложной гипотезой является утверждение :

Для проверки гипотезы о виде распределения используются критерии: Колмогорова, Смирнова,  и  Мизеса (при негруппированных наблюдениях),  Пирсона, отношения правдоподобия (при группированных наблюдениях).

 

Пример 2.1

Дана выборка объема :

 

1

2

3

4

15

8

4

3

Требуется проверить гипотезу о согласии данной выборки с законом Пуассона.

Решение

Зададимся уровнем значимости .

Поскольку распределение случайных величин является дискретным, для проверки гипотезы о согласии воспользуемся критерием  Пирсона.

,   .

ОМП для параметра  является . Для данной выборки . Тогда , , ,   , , .

 

Статистика Пирсона:

 

В случае оценивания по данной выборке  параметров распределения статистика  Пирсона подчиняется -распределению с  степенью свободы, где  – число групп. В данном случае число степеней свободы равно . Находим по таблице из приложения 3 критическое значение статистики Пирсона при : . Поскольку , то гипотеза о согласии данной выборки с распределением Пуассона отвергается. Отметим, что если , то гипотеза о согласии не отвергается.

Пример 2.2

В следующей таблице представлены результаты измерений длин чайных ложечек в сантиметрах.

 

9.65

9.05

9.20

9.79

6.69

9.14

9.93

11.95

10.20

10.21

8.58

9.82

11.75

9.05

12.31

10.47

10.10

8.40

10.77

10.19

8.78

10.36

7.30

11.03

12.47

11.06

10.31

7.43

9.87

10.29

9.41

10.37

9.52

10.15

5.36

11.02

8.52

8.34

10.94

9.33

10.01

9.87

9.43

8.27

10.34

9.48

9.61

10.95

10.01

9.86

 

Требуется проверить гипотезу о согласии данной выборки с распределением Лапласа.

Решение

Зададимся уровнем значимости .

Поскольку мы имеем непрерывную случайную величину, то для проверки гипотезы о согласии воспользуемся критерием типа Колмогорова, статистика которого имеет вид: , где , , . Объем выборки ,  – упорядоченные по возрастанию выборочные значения,  – функция распределения Лапласа.

Для нахождения ОМП параметров распределения воспользуемся программной системой ISW 4.0 [10]: , .

Вычисляем значение статистики Колмогорова . Находим по таблице из приложения 5 критическое значение статистики Колмогорова при : . Поскольку , то гипотеза о согласии данной выборки с распределением Лапласа не отвергается.