Название: Сборник задач по аэрогидромеханике - учебное пособие (А.А. Кураев)

Жанр: Технические

Просмотров: 1428


Потенциальные течения жидкости

Уравнение неразрывности в дифференциальной форме, отражающее закон сохранения количества вещества применительно к неустановившимся течениям ожидаемой жидкости, имеет вид

.

Для установившегося течения несжимаемой жидкости (r = const) уравнение неразрывности представляется в форме

 или .

Для потока сжимаемой жидкости в канале переменного сечения уравнение неразрывности означает, что массовый расход жидкости вдоль струйки тока неизменен

 или .

Для несжимаемой жидкости в этом случае уравнение неразрывности выражает условия постоянства объемного расхода вдоль струйки тока

 или .

Согласно теореме Коши-Гельмгольца движение бесконечно малой жидкой частицы можно представить как результат сложения трех движений: поступательного, вращательного, деформационного

,

где  – скорость деформационного движения; ,  – угловая скорость вращательного движения (– ротор или вихрь скорости).

Составляющие и модуль вектора угловой скорости определяются по формулам:

, , ,

,

где  – скорость деформационного движения.

Потенциальным или безвихревым называется течение, в котором мгновенная угловая скорость вращения частицы жидкости везде равна нулю, т.е.  или

, , .

Потенциалом скорости называется функция j (x, y, z), для которой справедливы соотношения

* = grad j  или

, , .

Потенциальные течения наблюдаются в потоках как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. В случае несжимаемой жидкости потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа

и носит название гармонической функции. Плоскими потенциальными течениями называется класс течений, не зависящий от одной из координат (например, от Z). В этом случае уравнение неразрывности

удовлетворяется при условии существования так называемой функции тока y = y (х, у), такой что

.

Потенциал скорости j и функция тока y удовлетворяют уравнениям Коши-Римана

.

В цилиндрической системе координат (r, q) эти уравнения выглядят следующим образом:

.

Жидкая частица при своем движении описывает траекторию. Линией тока называется воображаемая линия внутри движущейся жидкости, обладающая тем свойством, что частица жидкости, находящаяся на ней в данный момент времени, имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной к этой линии.

При установившемся движении линии тока и траектории тождественны. Дифференциальные уравнения линий тока имеют вид

.

В плоском потенциальном течении уравнение линии тока

y =const или .

Объемный расход жидкости Q между двумя линиями тока равен разности значений функций тока для этих линий:

Q = y2 – y1.

Уравнение эквипотенциальной поверхности (в плоском случае – линии равного потенциала) записывается в виде

j = const или .

Линии тока и линии равного потенциала образуют взаимно ортогональные семейства линий, так называемую гидродинамическую сетку, поскольку

grad j grad y = 0.

Два потока, которые описываются функциями j и y, называются сопряженными.

В плоскопараллельном потоке со скоростью V, совпадающей с осью х, потенциал скорости и функция тока будут иметь вид

j = V x + c,  y = V у + с.

Для плоского течения с источником и стоком с расходом ± Q (рис. 1.1)  («+» для источника и «-» для стока) составляющие скорости,  потенциал скорости  и функция тока представляются в виде

, Vt = 0,   ,

,

,   ,

.

    

 

 

                               

 

Основываясь на свойстве аддитивности как потенциала скорости, так и функции тока можно методом наложения «простых» течений получить результирующее «сложное» течение. В этом случае 

j = j1 + … +jn  ,  y = y1 + … +yn ,

где j и y – потенциал скорости и функция тока результирующего течения. Примером сложного течения является диполь с моментом М = Qdх, т.е источник и сток с секундными расходами ± Q, помещенные на бесконечно малом расстоянии dх друг от друга, когда dх® 0, Q ® ¥, Qdх = const.

Для дипольного течения

,

.

ЗАДАЧИ

Движение идеальной жидкости задано проекциями вектора скорости:

Vх = – aу, Vу = aх, Vz = 0 (a = const).

Построить линии тока и определить направление движения в зависимости от знака a.

Два потока идеальной несжимаемой жидкости заданы потенциалами скоростей:

j1 = х, j2 = 2у.

Проверить  существование  течения  с  потенциалом  скорости j = j1 + j2. В случае положительного ответа построить эквипотенциальные линии и линии тока суммарного течения.

Течение описывается потенциалом скорости j = х2 – у2. Определить составляющие скорости, записать уравнение линий тока. Построить линию тока, не проходящую через начало координат.

Скорости частиц потока жидкости задаются соотношениями

, ,  Vz = 0 (a = const > 0).

Показать возможность существования течения, найти линии тока и построить картину течения.

Поле скоростей задано соотношениями

, , .

Определить, какому условию должны удовлетворять постоянные a, b, c, чтобы движение было возможным для несжимаемой жидкости.

Поле скоростей задано соотношениями:

Vх = aх+bt, Vy = –ay+bt, Vz = 0 (a = const>0, b = const>0).

Найти линии тока и траектории, проходящие в момент времени t = 0 через точку с координатами х = – b/a2, y= – b/a2.

Поле скорости задано соотношениями:

Vх = k1 y +A t, Vy = –k2 x, Vz = 0 (k1 > 0, k2 > 0, A > 0).

Определить линию тока и траекторию частицы, проходящие в момент t = 0 через точку с координатами х = А/a2, у = 0 (a2 = k1 k2).

Получите выражение для линии тока течения, описываемого потенциалом скорости в полярной системе координат

.

Плоские источник и сток равной интенсивности Q = 10 м3/с расположены на оси х на расстоянии 1 м друг от друга (источник в точке х = 1, а исток в точке х = –1). Определить скорость в начале координат 0 (0,0), а также в точках А(–0,5; 0) и В(0,5; 0).

Найти поток, который получится от сложения плоского равномерного потока вдоль оси х со скоростью V и плоского источника мощностью Q, помещенного в начало координат. Определить составляющие скорости результирующего потока и дать его характеристику.

Исследовать поток, получающийся при наложении плоского равномерного потока несжимаемой жидкости, движущегося вдоль оси х со скоростью V, на источник и сток мощностью ±Q, находящиеся на оси х, в точках с координатами: источник х = –а, сток при х = а.

Московская телевизионная башня в Останкино помимо своей прямой функции является также гидрометеорологическим пунктом, где на различной высоте сосредоточены приборы службы погоды. Какую поправку надо вносить в показания прибора, измеряющего скорость ветра V, если прибор удален от поверхности башни, имеющей форму цилиндра с радиусом rо, на расстояние h = 2ro. На каком расстоянии надо было бы расположить прибор, чтобы ошибка была не более 1\% ? (рис. 1.2).