Название: Сборник задач по аэрогидромеханике - учебное пособие (А.А. Кураев)

Жанр: Технические

Просмотров: 1541

2. вихревые течения жидкости

Течение называется вихревым, если в нем существуют области, в которых вектор мгновенной угловой скорости .

Вихревой линией называется такая линия в потоке жидкости, в каждой точке которой в данное мгновение вектор угловой скорости  (вектор завихренности) совпадает с касательной к ней.

Дифференциальные уравнения вихревых линий имеют вид

.

Движение жидкости называется винтовым, если вихревые линии и линии тока совпадают. Уравнения винтовых линий находятся из условия параллельности векторов линейной и угловой скоростей:

.

Для вихревых течений справедлива теорема Гельмгольца о постоянстве интенсивности вихря I вдоль вихревой трубки:

,

где sn – площадь перечного (перпендикулярного к вектору вихря) сечения вихревого шнура. Из этого равенства следует, что в идеальной жидкости вихрь может либо сворачиваться в кольцо, либо опираться на твердые границы или свободную поверхность, но не может обрываться.

Циркуляцией скорости по замкнутому контуру (L) называется интеграл от скалярного произведения вектора скорости  и элементарного вектора , по величине равного длине дуги контура dS и направленного вдоль касательной к контуру

.

Связь между циркуляцией скорости и интенсивностью вихря устанавливается теоремой Стокса

,

циркуляция скорости по произвольному замкнутому односвязному контуру равна сумме интенсивностей вихревых нитей, пересекающих поверхность s, опирающуюся на этот контур.

Циркуляционным безвихревым движением называется поток жидкости с потенциалом скорости  и функцией тока  (направление вращения против часовой стрелки). В декартовой системе координат

,      .

Скорость, индуцированная конечным участком одиночного вихревого шнура длиной l, можно вычислить по формуле Био–Савара

,

где r – расстояние от элемента вихря до точки, в которой определяют скорость: q – угол между  и касательной  к элементу вихря .

В случае прямолинейного вихря с интенсивностью I = Г скорость, индуцируемая участком вихря l в произвольной точке А пространства, определяется по формуле

,

где ro – кратчайшее расстояние от точки А до оси вихря; q1, q2 – углы между осью вихря и отрезками прямых, соединяющих точку А с концами участка вихря l (рис. 2.1).

Рис. 2.1

ЗАДАЧИ

2.1. Написать уравнения семейства вихревых линий потока, в котором

Vx = 3y+z, Vy = 3z+x, Vz = 3x+y.

2.2. Может ли существовать поток с угловыми скоростями:

wх = с х у,  wу = с х,  wz = с z (c = const).

2.3. Найти компоненты вектора мгновенной угловой скорости в цилиндрической системе координат.

2.4. Поле скоростей задано соотношениями

Vx = – a y, Vy = a x, Vz = b,

где а, b – постоянные положительные величины. Определить линии тока, траектории, компоненты завихренности и вихревые линии.

2.5. При ламинарном течении вязкой жидкости в круглой трубе распределение скорости изменяется по закону

, Vr = 0, Vq = 0,

где Vo – скорость на оси трубы; r – расстояние до оси; R – радиус трубы. Найти величину и направление вектора вихря и расход жидкости через сечение трубы.

2.6. Вычислить циркуляцию скорости по окружности радиуса R с центром в начале координат и определить полную скорость в любой точке этой окружности, если потенциал  скорости  определится,  как

                        .

Рис. 2.2.

2.7. Поле скоростей задано проекциями вектора скорости на оси декартовой системы координат

Vx =  a х z, Vy =  a y z, Vz = –a z2, a = const > 0.

Найти вихревые линии.

2.8. В начале координат расположены сток мощностью Q и вихрь интенсивностью Г. Найти линии тока результирующего течения.

2.9.* В точках с координатами y = ± h в жидкости находится пара вихрей, интенсивности которых равны по величине, но противоположны по знаку (Г1= –Г2). При какой скорости набегающего потока  вихри останутся неподвижными? Найти линии тока в этом случае.

2.10.* Определить Сaу плоской пластинки бесконечного размаха заменив ее: а) одним присоединенным вихрем; б) двумя присоединенными вихрями.

2.11.* Составить алгоритм решения и вывести расчетные формулы для численного расчета аэродинамических коэффициентов тонкого профиля с заданной формой средней линии у = у(х). Профиль заменить N присоединенными вихрями.

2.12.* В окрестности профиля, обтекаемого равномерным потоком со скоростью V¥, имеется сток с координатами (l, h) интенсивностью Q (рис. 2.3). Профиль крыла заменить вихрем интенсивности Г. Определить влияние стока на подъемную силу и сопротивление.

Рис. 2.3.

2.13. Найти распределение давления в жидкости, вызванное прямолинейным круговым вихрем радиуса R и интенсивности Г = 2wpR2. Внутри вихря скорость изменяется по закону вращения твердого тела  .

2.14.* Найти силу, действующую на профиль крыла, обтекаемый потоком несжимаемой жидкости со скоростью V¥ и находящийся на расстоянии L от поверхности земли (рис. 2.4). Профиль заменить бесконечным вихрем с интенсивностью Г. Проанализировать влияние параметра L/b.

Рис. 2.4.

2.15.* Два крыла бесконечного размаха расположены друг относительно друга, так как показано на рис. 2.5, и обтекаются потоком несжимаемой идеальной жидкости со скоростью V¥ под углами атаки a1 и a2.

Рис 2.5.

Определить силы, действующие на каждое крыло единичного размаха, считая, что они заменены вихрями интенсивностей Г1 и Г2. Величины Г1 и Г2  найти из условия непротекания в точках N1 и N2, расположенных на расстоянии ¾ хорд от носка профиля.

3. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Уравнение движения идеальной несжимаемой жидкости (уравнение Эйлера) в векторной форме

или в проекциях на оси декартовой системы координат:

,

,

,

где X, Y, Z – проекция массовых сил, действующих на единицу массы жидкости.

Уравнения движения в форме Громеки

где U – потенциал массовых сил; = – grad U; R= – потенциальная функция давления.

Для несжимаемой жидкости – Р ,

для газа при адиабатическом процессе – Р ,

при изотермическом процессе Р =R T lnP.

Для установившегося движения интеграл Бернулли записывается в виде

U+ Р + .

В потенциальном потоке константа С постоянна для всего поля течения. В остальных случаях C = const вдоль линии тока или вдоль вихревой линии.

В случае несжимаемой жидкости (r = const) и когда из массовых сил действует только сила тяжести, уравнение Бернулли имеет вид

,

где g = rg – удельный вес жидкости;  – скоростной напор (удельная кинетическая энергия); у – высота центра тяжести сечения струйки над горизонтальной плоскостью отсчета (нивелирная высота);  – пьезометрический напор;  – удельная потенциальная энергия.

При небольших разностях высот работа массовых сил мала по сравнению с работой внутренних сил давления и сил инерции. В этом случае интеграл Бернулли имеет вид

.

Для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости имеем , или , или , где p – статическое давление;  – динамическое давление; pо – давление в точке торможения потока.

Если уравнение Бернулли применять к сжимаемому газу (М £ 1), то ошибку в определении давления eр можно учесть приближенно соотношением

pо = p¥ + q¥(1 + eр),

где , ;

индекс ¥ обозначает параметры невозмущенного течения.

Числа динамического подобия при обтекании тел потоком вязкого cжимаемого газа:

 – число Рейнольдса , где l – характерный размер, м. Число Re равно отношению размерных величин V¥2/ l и gV¥/ l2, характеризующих соответственно инерционные силы и силы вязкости.

 – число Маха, характеризующее отношение инерционных сил к силам давления.

 – число Фруда, определяющее отношение инерционной силы к силе тяжести.

 – число Струхала, где t – характерное время, с. Число Sh характеризует отношение конвективного ускорения движения частицы к локальному ускорению. Для колебательных движений газа число Струхала записывается в виде , где f – частота колебаний, Гц.

 – число Нуссельта (критерий теплообмена), где l – коэффициент теплопроводности, Вт/м.К; a – коэффициент теплопередачи, Вт/м2·К. Число Nu характеризует конвективный теплообмен между газом и поверхностью твердого тела.

 – число Прандтля (критерий теплопереноса). Число Рr характеризует отношение количества тепла, выделившегося в результате вязкого трения, к количеству тепла, отведенному в результате теплопроводности.

ЗАДАЧИ

3.1. Поток воздуха движется в трубе переменного сечения с малой дозвуковой скоростью (рис. 3.1) Сравнить между собой показания манометров 1-2, 3-4, 1-3, 2-4.

Рис. 3.1

3.2. Плоское течение несжимаемой жидкости описывается функцией тока y =а(у+х2+у2). Скорость и давление в точке М(х=2, у=1) равны соответственно VМ = 10 м/с и РМ = 105 Н/м2. Определить скорость VN и давления pN в точке N, лежащей на той же линии тока и имеющей координату х=0. Считать, что r = 1,25 кг/м3.

3.3. Определить скорость истечения воздуха Vи из резервуара (без учета потерь), если избыточное давление внутри: а) Dp = 100 Па; б) Dp = 100 кПа. Внешние условия стандартные (рис. 3.2).

Рис. 3.2

3.4. Определить давление в критической точке носа фюзеляжа пассажирского самолета при полете на высоте Н = 6 км (табл. П1) со скоростью 450 км/ч.

3.5. Определить скорость полета самолета, если статическое давление за бортом pст = 61 656 Н/м2. Рассматривать воздух как несжимаемый газ.

3.6. Насколько повысится давление в критической точке по отношению к давлению в набегающем потоке при обтекании модели подводной лодки: а) потоком воздуха при скорости 144 км/ч (Н = 0); б) потоком воды (rв.=1000 кг/м3) со скоростью 36 км/ч?

3.7. Определить динамическое давление в носовой части фюзеляжа самолета, летящего при М = 0,7 и нормальных условиях (Н = 0). Какова ошибка при определении pдин без учета сжимаемости воздуха?

3.8. Трубка Вентури, устанавливаемая на самолете, производит отсос воздуха из гироскопических приборов, помогая тем самым вращаться гироскопы. Определить разрежение в узком сечении трубки Вентури  при полете со скоростью V = 100 м/с на высоте Н = 6000 м.

Рис. 3.3

3.9.   Вывести уравнения Эйлера в цилиндрической системе координат.

3.10. Определить перепад давлений на стенках обратного канала (ОК) аэродинамической трубы с открытой рабочей частью (РЧ) (рис. 3.4). Скорость потока в РЧ V = 40 м/с, площадь РЧ S = 1м2, площадь ОК S = 8м2. Внешние условия стандартные.

Рис. 3.4

3.11. Проанализировать пределы изменения коэффициента давления на поверхности тела в потоке несжимаемой жидкости.

3.12.* Баротропная среда движется по криволинейной плоской трубе малой постоянной площади сечения. Пренебрегая массовыми силами, показать, что если уравнение состояния задано в форме p=f(r), то имеет место соотношение

.

3.14.* Самолет рассчитан на движение при нормальных атмосферных условиях со скоростями V¥ = 300…600 км/ч. Для испытаний в аэродинамической трубе переменной плотности используется модель этого самолета, выполненная в масштабе 1:10. Продувка в трубе будет производиться при давлении в рабочей части p = 1,962×108 Па и температуре t = 25 оС. Определить, при каких скоростях необходимо  испытать модель, чтобы обеспечить подобие по числу Re.

3.15. В аэродинамической трубе переменной плотности испытывается модель крыла с хордой bМ=150 мм. Скорость воздушного потока в трубе VМ = 25м/с, а температура tМ=30оС. Определить, при каком давлении необходимо провести испытания, чтобы обеспечивалось подобие по числу Re? Натурное крыло имеет хорду bн=1,2 м, а скорость его движения Vн = 330 км/ч при Н=0.

3.16. Определить скорость, с которой нужно протаскивать в гидроканале модель корабля длиной lМ=160 м и скорость Vн=14 м/с.