Название: Сборник задач по аэрогидромеханике - учебное пособие (А.А. Кураев)

Жанр: Технические

Просмотров: 1326


4. изоэнтропические течения  сжимаемого газа

Изэнтропическим течением газа называется такое течение, при котором энтропия S вдоль линии тока не изменяется: S = const.

Функция S, характеризующая состояние газа, может быть представлена выражением

S = Cu lnT +Rlnu + const,

где u – объем газа, м3.

Уравнение изэнтропического процесса (обратимого адиабатического течения газа) имеет вид

 или .

Интеграл Бернулли для установившегося одномерного изэнтропического течения сжимаемого газа записывается в виде

или в других формах:

,

,

.

Параметры: температура То, давление Ро, плотность rо, теплосодержание (энтальпия) iо, характеризующие состояние воздуха при скорости V = 0, называются параметрами изэнтропического торможения.

Точка на поверхности тела, в которой скорость газа обращается в нуль, называется точкой нулевой скорости или критической точкой.

Параметры торможения связаны с текущими параметрами потока соотношениями

,

,

,

.

Температура торможения, рассчитанная по приведенной выше формуле, является теоретическим пределом максимальной температуры на поверхности летательного аппарата. В реальных условиях с учетом теплообмена и трения на стенке, температура Tа будет ниже, что учитывается с помощью коэффициента восстановления температуры:

.

Связь между параметрами газа при изэнтропическом процессе (для двух его состояний) представляется уравнениями Пуассона:

,   ,   .

Сечение струйки тока, в котором местная скорость газа равна местной скорости звука, называется критическим.

Связь между параметрами торможения и критическими параметрами определяется соотношениями

, , .

Отношение V/aкр=l называется коэффициентом приведенной скорости. Параметр l используется в аэродинамических расчетах наряду с числом Маха. Связь между числами l и М устанавливается формулой

.

Широкое применение в газовой динамике находят так называемые газодинамические функции (табл. П2):

 – функция температуры;

 – функция плотности;

 – функция давления.

Максимальная скорость потока определяется соотношениями:

.

Зависимость между площадью поперечного сечения струйки s и скоростью изэнтропического течения идеального газа определяется уравнением Гюгонио

.

Безразмерный расход газа характеризуют газодинамические функции: q(l) – приведенная плотность тока (приведенный расход) и у(l) – приведенный статический импульс, рассчитываемые по формулам

,

,

где s, sкр – соответственно текущее и минимальное значения площади струйки потока.

Массовый расход жидкости определяется уравнением

G = r ×V s   [кг/с],

объемный расход Q = V s   [м3/с]. Очевидно, что G = Q r.

Уравнение массового расхода через газодинамическую функцию q(l) записывается в виде

.

Если постоянную, зависящую от термодинамических констант газа, обозначим через

,

тогда .

Уравнение расхода через газодинамическую функцию у(l) представляется в виде

.

Режим истечения газа из сопла называется расчетным, если расчетное давление на срезе сверхзвукового сопла pа равно давлению pн в среде, куда истекает газ.

Сила тяги воздушно-реактивного двигателя определяется уравнением

R = Gв (Va – Vн) +Gг Va + (pa – pн) sа.

Здесь первое слагаемое в правой части – изменение количества движения воздуха, проходящего через двигатель; второе слагаемое – количество движения горючего, покидающего реактивное сопло двигателя (составляет 2…3 \% от тяги R, и им часто пренебрегают); третье слагаемое – избыточная сила давления в выходном сечении сопла; pн, Vн – давление и скорость набегающего потока; pа, Vа – давление и скорость на срезе выходного сечения сопла; Gв, Gг – соответственно секундный массовый расход воздуха и горючего.

Для ракетных двигателей, в которых не используется атмосферный воздух, а масса горючего Gг = Gт + Gо (сумма топлива Gт и окислителя Gо) тяга рассчитывается по формуле:

R = Gг Va + (pa – pн) sа.

Тягу воздушно-реактивного двигателя удобно определять с помощью газодинамических функций f(l), z(l), r(l).

Через функцию f(l), называемую приведенной плотностью потока импульсов, уравнение для тяги преставится в виде

,

где ;  – степень расширения газа в сопле.

Через функцию

тягу воздушно-реактивного двигателя без учета количества движения топлива можно найти по уравнению

,

где Rг, Rв, Тог, Тон – удельные газовые постоянные и температуры продуктов сгорания в выходном сечении сопла и воздуха на входе в двигатель; sн – площадь струйки набегающего потока.

Через функцию

без учета члена Gг Vа тягу ВРД можно рассчитать по формуле

,

где п = pа /pн – степень нерасчетности сопла.

ЗАДАЧИ

4.1. Самолет летит на высоте 8 км. Показания насадка полного давления pнас=47,34 кПа. Внешние условия стандартные. Определить скорость V и число Маха полета, относительную погрешность определения V и М без учета сжимаемости.

4.2. На высоте 15 км скорость горизонтального полета самолета 2500 км/ч. Определить М полета и температуру торможения.

4.3. Сверхзвуковой пассажирский самолет изготовлен из сплава, допускающего длительный нагрев обшивки в критических точках до 530 К. Оценить, с каким максимальным числом М может лететь самолет на высоте Н > 11 км.

4.4. Местная звуковая скорость на крыле самолета достигается при числе М¥ = 0,85. С какой максимальной скоростью может летать самолет на высоте 8000 м, не превышая критической скорости полета? Определить температуру потока в точке, где местная скорость равна скорости звука.

4.5. Самолет летит на высоте 5000 м. Насадок полного давления, установленный на самолете, показал давление 91 192 Па (давление заторможенного потока). Какова скорость самолета и насколько ее надо увеличить, чтобы лететь со скоростью, равной скорости звука на этой высоте?

4.6. На высоте 11 000 м самолет летит с критической скоростью 255 м/с. До какой высоты должен снизиться самолет, чтобы критическая скорость полета (Мкр < 1) была равна 1020 км/ч? Определить температуру торможения на этом режиме полета.

4.7. Самолет летит со скоростью 200 м/с на высоте 6000 м. Определить критическую скорость звука акр и статическое давление на крыле в точке,  где  скорость потока достигла скорости звука.

4.8. Оценить максимальное число Маха в рабочей части сверхзвуковой аэродинамической трубы, которое можно достичь при температуре в форкамере 20 оС. Температура начала сжижения воздуха 72 К. До какой температуры необходимо нагревать воздух в форкамере, чтобы в рабочей части получить число Маха, равное 10?

4.9. Температура торможения газа равна 320 К. Определить критическую скорость звука акр, скорость звука при параметрах торможения, максимальную скорость потока, истекающего в вакуум.

4.10. На высоте Н = 10 000 м самолет достиг скорости 310 м/с. С какой скоростью происходит полет: с дозвуковой или со сверхзвуковой? Оценить повышение температуры обшивки крыла в критической точке. Коэффициент восстановления температуры взять равным Kт = 0,85.

4.11. Найти значения а, М и l для струи воздуха, вытекающей из баллона со скоростью, равной половине максимальной теоретической скорости истечения. Температура в баллоне 127 оС.

4.12.* Из баллона бесконечно большой емкости через канал переменного сечения в атмосферу с давлением pн = 103 Н/м2 вытекает воздух (см. рисунок). Считая воздух идеальным газом, используя соотношения, соответствующие изэнтропическим течениям, определить параметры потока по длине канала. Сужением струй, инерционными силами в сечения пренебречь.

Исходные данные:  pо = 1× 106 Н/м2;  То = 300 К;  Vо = 0 м/с;

 s1 = 2× 10-4 м2;   s2 = 1,1× 10-4 м2;   s3 = 3× 10-4 м2;

s4 = 1× 10-4 м2;  s5 = 1,5 × 10-4 м2;  s6 = 1× 10-3 м2;

 k = Ср/Сu = 1,4;    R = 287,14 Дж/кг·К.

 

 

 

Построить кривую изменения скорости по длине канала без учета инерционных сил. Дать качественный вид кривой, если эти силы учесть.

4.13.* Определить время, необходимое для слива топлива из крыльев баков горизонтально летящего на высоте 1000 м самолета. Число Маха полета М = 0,9. Площадь отверстия насадка слива s2 = 0,1 м2. Объем бака W = 10 м3. Высотой уровня горючего над отверстием насадка слива пренебречь. Давление в свободном объеме бака равно давлению торможения в критической точке крыла, а у отверстия насадка слива – атмосферное. Насадок цилиндрической формы с незакругленными входными кромками. Исходные данные: вязкость топлива n = 4,5× 10-6 м2/с; удельный вес g = 8142 Н/м3; длина насадка l = 0,5 м; давление насыщеных паров топлива pt = 1,5× 103 Н/м2 при t » 10 оС. Внешние условия стандартные.

4.14. Какая модель газа подходит для описания движения воздуха, если при скорости потока V1 разность между полным и статическим давлением Dp1= 65 Н/м2 при скорости V2 = 2 V1, Dp2=260 Н/м2, Н = 0.

4.15. При каком значении числа М полета у земли (p = 1,013 × 105 Н/м2, То = 288 К), тяга турбореактивного двигателя с сужающимся соплом будет создаваться только за счет избытка давления на срезе реактивного сопла? Известно, что температура торможения в реактивном сопле То = 900 К. Для реактивного сопла принять k = 1,35; R = 287 Дж/кг·К.

4.16.* Жидкостно-реактивный двигатель должен развивать тягу 40 кН, работая на расчетном режиме на высоте Нр = 10 км. Оценить, какими должны быть площади среза сопла и критического сечения, секундный расход топлива, если температура в камере сгорания Ткс » 3500 К, давление pкс » 3,5 МПа. (Принять допущение, что термодинамические параметры продуктов сгорания  k, R и т.д. неизменны и такие же, как для воздуха при нормальных условиях.)

4.17. Самолет с воздушно-реактивным двигателем летит со скоростью 900 км/ч, при этом через двигатель проходят 20 кг/с воздуха, который выбрасывается через реактивное сопло на расчетном режиме со скоростью 700 м/с относительно самолета. Определить реактивную тягу при этих условиях, пренебрегая долей тяги, создаваемой расходом топлива.

4.18.* Для целей корректировки траектории полета летательного аппарата используется небольшой двигатель, работающий на расширении воздуха от давления pо=30 × 105 Па до давления на срезе сопла 1,5 × 104 Па. Площадь критического сечения сопла sкр=0,3×10-4 м2. Покажите, как изменятся тяга и расход, если вместо воздуха при тех же параметрах в двигатель подавать:

а) водород (Н2) k = 1,4,  R = 4160 Дж/кг×К;

б) гелий (Нe) k= 1,66,  R = 2080 Дж/кг×К.

5 .СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

Скачками уплотнения при сверхзвуковом обтекании тел называются места резкого скачкообразного увеличения давления, плотности, температуры и уменьшения скорости.

Считая процесс сжатия газа в скачке уплотнения адиабатическим, из уравнения Бернулли следует, что вдоль линии тока

То = const, iо = const.

Параметры газа до и после скачка обозначим, как показано на рис. 5.1.

 

 

 

Если известны параметры газа перед скачком, то их значения за ним можно определить, решая систему уравнений, описывающих при переходе через скачок условия сохранения массы, количества движения, энергии и уравнение состояния газа:

,   ,

,

,

p2 = r2RТ2.

При переходе через скачок величины iо, То, ао, акр, Vmах, Ткр остаются неизменными, а величины pо, rо, pкр, rкр терпят на скачке разрыв.

Для любого скачка уплотнения справедливо уравнение ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио):

,

или                      .

Скачок уплотнения, движущийся с некоторой скоростью относительно системы координат, в которой покоится газ, называется ударной волной. Скорость распространения ударной волны определяется соотношением

.

Изменения параметров газа при переходе через косой скачок уплотнения в зависимости от k, числа Маха потока до скачка М1 и угла наклона косого скачка b определяются формулами

,

,

,

,

.

Угол поворота потока на косом скачке находится по формуле

.

Коэффициент восстановления давления торможения на косом скачке определяется зависимостью

.

В частном случае  при b = 90о изменения параметров в скачке являются максимальными, а угол отклонения q = 0. Такой скачок расположен перпендикулярно к направлению скорости невозмущенного потока и называется прямым скачком.

Ударная поляра представляет собой геометрическое место концов векторов скорости за скачком уплотнения при различных значениях угла поворота потока в скачке.

Уравнение ударной поляры в безразмерном виде записывается так:

и имеет вид, представленный на рис. 5.2.

 

 

 

При прохождении косого скачка вблизи твердой стенки возможны два способа его отражения: либо так называемое правильное (нормальное) отражение, когда сверхзвуковой набегающий поток с числом М¥, пройдя через косой скачок уплотнения, отклоняется на угол q1 и движется далее с числом М1 < М¥ (поскольку, что возле стенки такое течение невозможно, в точке В возникает второй косой скачок, отклоняющий поток в обратном направлении на тот же угол (рис. 5.3)), либо так называемое неправильное (маховское) отражение, когда угол поворота потока q2 становится больше предельно допустимого для данного числа М1. В этом случае В отходит от стенки и возникает зона течения с прямым скачком уплотнения, размеры которой находятся из уравнения неразрывности (рис. 5.4).

 

 

 

Косые скачки от границы свободной струи отражаются волнами разрежения (рис. 5.5). Отражение скачка приводит к деформации границы струи, которая в точке В отклоняется на угол q2 > q1. Это отклонение вызывается расширением струи.

 

 

 

При взаимодействии скачка и волны разрежения интенсивность скачка уменьшается, сам он искривляется, постепенно превращаясь в волну разрежения (рис. 5.6).

 

 

 

При обтекании невязким сверхзвуковым потоком газа внешнего тупого угла (рис. 5.7) возникает веер волн разрежения с углом j . Источником возмущений является отклонение стенки ОС на угол q относительно начального направления АО. Положение волн разрежения (характеристик) определяется уравнением .

 

 

Отсчет углов поворота волн разрежения обычно производят от звуковой характеристики. В частном случае при l1 = 1, приведенная скорость за веером волн разрежения определяется формулой

.

Если набегающий поток сверхзвуковой, то к фактическому углу поворота волн разрежения добавляется фиктивный угол поворота характеристики от звукового потока до заданного. Расчет ведется по формуле .

Уравнение линии тока

,

где rо – радиус на звуковой характеристике; r – текущее значение радиуса при повороте характеристики на угол j.

ЗАДАЧИ

5.1. В рабочей части сверхзвуковой трубы, давление, измеренное трубкой полного напора, больше статического в 10 раз. Найти число М потока.

5.2. В рабочей части аэродинамической трубы давление торможения, измеряемое приемником полного давления, составляет 4,21 105 Н/м2, а статическое 0,2 105 Н/м2. Определить угол наклона характеристик к оси рабочей части, скорость потока, если температура торможения потока в форкамере трубы составляет 300 К .

5.3. Самолет летит на высоте Н = 10000 м со скоростью 1080 км/ч. Определить скорость потока за веером волн разрежения на крыле самолета, если угол веера j = 45о.

5.4. Температура воздуха в форкамере сверхзвуковой трубы Т = 288 К. Поток на срезе сопла трубы имеет скорость V1 = 530 м/с и обтекает тело с образованием прямого скачка. Найти скорость скачка.

5.5.* Летательный аппарат находится на высоте 25 000 м. Давление торможения, измеряемое с помощью приемника воздушного давления, составляет 3,66 × 104 Н/м2. Определить число Маха, скорость полета и температуру лобовой части летательного аппарата, коэффициент восстановления температуры лобовой части аппарата r = 0,85. Внешние условия стандартные.

5.6. Для косого скачка уплотнения с углом наклона b = 50о определить  М2, p2/p1 при М1 = 3.

5.7. Полет происходит при числе М1 = 2,8. Найти угол полураствора клина q, при котором скорость после скачка будет звуковой.

5.8. Струя воздуха движется со скоростью 520 м/с, имея давление p1 = 105 Па и температуру Т1 = 323 К. Определить скорость, температуру и давление за прямым скачком уплотнения, возникшем в потоке.

5.9. Наблюдатель услышал звук пролетающего на высоте 10 км самолета в то время, когда он удалился от наблюдателя на 10 км по горизонтали. Пренебрегая кривизной ударной волны, оценить число М полета самолета.

5.10. Взорвавшийся на поверхности земли снаряд повысил давление в месте взрыва в два раза. Считая параметры воздуха  у земли стандартными, определить начальную скорость движения ударной волны без затухания.

5.11.* В аэродинамической трубе (рис. 5.8) с открытой рабочей частью испытывается клиновидное тело с половиной угла при вершине q = 15о. Подсчитать параметры потока за косым скачком уплотнения (p20, p2, Т2, V2) и угол скачка b, если известно, что полное давление в сопле pо = 107 Па, То = 400 К, расширение в сопле происходит до внешнего давления.

 

 

 

Рис. 5.8

5.12.* Определить относительную длину L/h и высоту горла hг/h сверхзвукового диффузора плоской аэродинамической трубы, рассчитанной на число М = 3 с углом поворота потока q = 10о при условии, что реализуется заданная на рис. 5.9 схема течения. Найти также М в зонах 1–5.

 

 

Рис. 5.9

 

5.13. Перед прямым скачком скорость воздуха V1 = 500 м/с, температура Т1 = 300 К. Определить скорость и температуру за скачком.

5.14. На входе в воздухозаборник скорость воздуха на прямом скачке упала в два раза. Определить, во сколько раз повысились температура и давление.

5.15. Расчетное отношение давления в струе на срезе сопла Лаваля к полному давлению в форкамере (pср/pо)расч= 0,2. Оценить максимальное наружное давление, при котором всюду внутри сопла еще сохраняется расчетное течение, pо =1 МПа.