Название: Сборник задач по аэрогидромеханике - учебное пособие (А.А. Кураев)

Жанр: Технические

Просмотров: 1146

6. течения вязкой жидкости

Вязкостью называется способность жидкостей и газов оказывать сопротивление усилиям сдвига при относительном перемещении соседних слоев жидкости.

Течения вязкой жидкости могут существовать или в ламинарном, т.е. слоистом, неустойчивом состоянии, или в более устойчивом – турбулентном.

Режим течения характеризуется числом Рейнольдса

,

где  х – характерный размер, м; n – коэффициент кинематической вязкости, м2/с.

Если число Рейнольдса данного течения меньше некоторого критического числа Рейнольдса Re < Reкр (Reкр = Vкр  х/n), то режим течения ламинарный. При этом обмен количествами движения между слоями происходит только за счет молекулярного теплового движения. Напряжения трения при ламинарном течении вдоль оси х около безграничной твердой стенки определяются из уравнения Ньютона

.

Коэффициент динамической вязкости m связан с температурой потока соотношением m =mо(Т/То)0,76. Здесь То = 288 К, mо = 1,789 × 10-5 Па×с.

При Re > Reкр режим течения турбулентный с обменом количествами движения между слоями в основном в результате переноса не отдельных молекул, а жидких частиц за счет пульсационных составляющих скорости. Наличие пульсаций скорости в турбулентном потоке вызывает дополнительные нормальные и касательные напряжения.

Средние значения напряжений турбулентного течения для площадки, перпендикулярной к оси у, находятся из уравнения

,

где l – длина пути перемешивания Прандтля (при расчетах пограничного слоя обычно принимают l = Kу, где K=0.38); mт – коэффициент турбулентной вязкости.

Величина  называется динамической скоростью или скоростью касательного напряжения. Здесь t =tо = = const – касательное напряжение вблизи стенки.

Уравнение движения для вязкой сжимаемой жидкости (уравнение Навье–Стокса) в векторной форме имеет вид

или в декартовых координатах:

,

,

.

Точное решение уравнений Навье–Стокса для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе без учета массовых сил (течение Пуазейля) представляется в виде

,

где Dp = p1 – p2 – перепад давления на участке цилиндрической трубы длиной l; R – радиус трубы; r – текущий радиус.

По известному профилю скорости расход жидкости в трубе определяется соотношением

.

Точное решение уравнений Навье–Стокса для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными пластинами записывается в виде

.

Здесь у – координата, направленная поперек зазора между пластинами.

В случае, когда одна из пластин движется со скоростью и (течение Куэтта), то граничные условия будут: Vх = 0 при у = 0 и Vх = u при у = h, а скорость в зазоре определится из уравнения

.

Вязкость жидкости наиболее существенно проявляется вблизи обтекаемых поверхностей в пограничном слое толщиной d. Установившееся течение в пограничном слое несжимаемой жидкости можно приближенно рассчитать с помощью интегрального уравнения Кармана

,

где V¥ – скорость потока на верхней границе пограничного слоя; tо – напряжение трения на обтекаемой поверхности. Обычно известными являются величины Vo , dp/dx, r, а неизвестными – Vх, tо и d. В этой связи для решения конкретных задач требуются еще два уравнения, например Vх=Vх (у), tо = tо(d).

Полную силу сопротивления трения участка крыла длиной l можно рассчитать по формуле

,

где l – размах участка крыла, для которого вычисляется Хтр; tов , tон – соответственно напряжения трения на верхней и нижней поверхностях профиля.

Интегрирование ведется по поверхности профиля с хордой b. Коэффициент трения всего профиля находится по формуле

.

Местный коэффициент трения вычисляется по формуле

.

Различают случаи ламинарного, турбулентного и смешанного пограничных слоев.

При ламинарном течении в пограничном слое несжимаемой жидкости плоской пластины шириной b и длиной l профиль скорости задается уравнением

.

Параметры ламинарного пограничного слоя на плоской пластине при r = const определяются соотношениями (точное решение Блазиуса):

, ,

,

Коэффициент лобового сопротивления пластины, обусловленный силами трения, действующими на обе стороны, находится по формуле .

При турбулентном течении в пограничном слое несжимаемой жидкости, обтекающей плоскую пластину, закон изменения скорости по сечению может быть описан либо логарифмическим уравнением

,

либо степенным уравнением

.

В этом случае для расчета параметров турбулентного пограничного слоя справедливы формулы

,

,

,

.

В диапазоне чисел 105 £ Rе £ 109  коэффициент одностороннего сопротивления трения пластины обычно рассчитывается по формуле Прандтля–Шлихтинга

.

Для случая смешанного пограничного слоя на плоской пластине для оценочных расчетов можно использовать следующие соотношения при Rе < 106:

,

при 106 £  Rе £  109 

.

Для гладких пластин А = 1700, для шероховатых А = 300. Более точно Сf  рассчитывается по формуле

,

где Reкр определяется по экспериментальным графикам. Ориентировочно Reкр = 0,5…2,5·106. Сжимаемость жидкости существенно влияет на характеристики пограничного слоя (см., например [2]).

Для плоской пластины, обтекаемой воздухом, учет числа М¥ производится по формулам:

а) ламинарный пограничный слой

, ;

б) турбулентный пограничный слой

, .

Место отрыва ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости можно определить по уравнению

.

Если z = d*, то jо (0) = 1,92; если z = d**, то jо (0) = 0,157. Течение будет безотрывным, если значение левой части  уравнения меньше значения правой части.

При наличии скачков уплотнения их взаимодействие с пограничным слоем, как правило, приводит к отрыву пограничного слоя. Относительное давление, способное привести к отрыву ламинарного пограничного слоя, рассчитывается по формуле

.

Формула работает при М¥ > 1,2.

Для турбулентного пограничного слоя давление в точке отрыва можно определить по уравнению . Формула справедлива при М¥ > 1,3.

ЗАДАЧИ

6.1. Пользуясь интегральным уравнением Кармана и граничными условиями, рассчитать ламинарный пограничный слой на тонкой пластине (dp/dx=0), – толщину пограничного слоя d, местный коэффициент сопротивления, приняв профиль внутри пограничного слоя в виде

Vx= a (x) sin [b (x) y].

6.2. Рассчитать коэффициент трения плоской пластины, обтекаемой турбулентным потоком при числе М¥ = 2,5. Высота полета Н и хорда пластины равны:

а) Н = 2000 м,            b = 2 м;

б) Н = 3000 м,            b = 4 м;

в) Н = 7000 м,            b = 4 м.

6.3. Оценить толщину пограничного слоя на задней кромке тонкого профиля с хордой 3 м, движущегося на высоте 4000 м со скоростью 130 м/с (поверхность аэродинамически гладкая).

6.4. Самолет с прямоугольным в плане крылом (хорда b = 3 м, размах l = 20 м) летит со скоростью 300 км/ч на высоте 4 км. Толщина потери импульса пограничного слоя на задней кромке крыла d**=10 мм, избыточное давление на задней кромке Dp » 0. Определить коэффициент и величину профильного сопротивления крыла.

6.5. Тонкая пластина с хордой 0,5 м и шириной 2 м обтекается воздухом со скоростью V¥ = 40 м/c при a = 0 и нормальных атмосферных условиях, Rекр = 4,85×105. Определить толщину ламинарного пограничного слоя перед точкой перехода; положение точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный; коэффициент трения пластины и силу лобового сопротивления.

6.6. Сравнить коэффициенты сопротивления и силы сопротивления трения при ламинарном и турбулентном пограничных слоях на гладкой пластине длиной 0,5 м и шириной 3 м. Параметры воздуха соответствуют Н = 1000 м; скорость полета V¥ равна: а) 70 м/с; б) 200 м/с.

6.7. Прямоугольное крыло с тонким симметричным профилем имеет хорду b = 32 м, размах l = 10 м, силу лобового сопротивления Ха = 220 Н при скорости набегающего потока V¥ = 50 м/с и нулевом угле атаки (Н = 0, условия стандартные). Оценить вклад составляющих сопротивления трения и давления в общее сопротивление; максимальную толщину пограничного слоя на поверхности крыла.

6.8. Лист толщиной d = 5 мм, размером 2 м на 5 м протаскивается с постоянной скоростью V=0,5 м/с сквозь щель шириной h = 8 мм, заполненную водой с температурой 50 оС. Оценить силу сопротивления.

6.9.* Доказать, что при ламинарном установившемся течении жидкости в трубе радиусом R, длиной L при перепаде давления Dp профиль скорости определяется соотношением

.

6.10. Подсчитать максимальный расход керосина (m = 1,49·10 3 Па×с, r = 800 кг/м3) через трубу с диаметром 24 мм при сохранении ламинарного режима течения.

6.11.* Две параллельные пластины установлены под углом j = 45о к горизонту. Одна из пластин движется с постоянной скоростью u = 1 м/с в направлении, обратном основному потоку жидкости (см. рисунок). Жидкость имеет плотность r = 800 кг/м3 и динамическую вязкость m = 0,8 Па×с. При заданных на рисунке условиях определить максимальную скорость жидкости в зазоре, координату z, где эта скорость реализуется, объемный расход жидкости на единицу ширины пластин и напряжение трения на нижней и верхней пластинах.

6.12. Воздушный поток движется вдоль гладкой пластины со скоростью 5м/с, давление потока при этом 760 мм рт.ст. и температура 288 К. Какой длины должна быть пластина, чтобы в конце пограничный слой был толщиной 3 мм? Каким при этом будет режим течения в пограничном слое?

6.13.* Гладкая пластина обдувается потоком воздуха при  нулевом угле атаки с числом М¥ = 0,8 при коэффициенте кинематической вязкости n = 3,89×10-5 м2/с, плотности r = 0,365 кг/м3 и температуре Т = 216 К. Определить длину х ламинарного пограничного слоя (Reкр = 6×105), его толщину на конце и значение местного коэффициента трения Cf. Cравнить между собой результаты расчета с учетом и без учета сжимаемости.

6.14.* Панель плоского сверхзвукового воздухозаборника с длиной 0,8 м составляет угол с вектором скорости набегающего потока q=10о. В конце панели имеется щель для слива пограничного слоя. Определить высоту щели, считая, что весь пограничный слой сливается. Полет происходит на высоте 12 км с числом М¥ = 2,5. Течение в воздухозаборнике происходит без теплообмена.

6.15.* Торможение потока воздуха происходит в изоградиентном диффузоре с ¶p/¶х = 600 Па/м. Определить длину образующей диффузора, вдоль которой течение будет безотрывным. Скорость на входе в диффузоре 40м/с, температура потока при этом Т = 300 К, а давление p = 105 Па.

6.16.* Входное устройство дозвукового воздушно-ракетного двигателя выполнено в виде изоградиентного диффузора с градиентом давления dp/dх = 2000 Па/м. При полете со скоростью 900 км/ч на высоте 10 км на входе в диффузор установилась скорость V¥ = 200 м/с. В конце диффузора скорость должна быть 130 м/с. Какова при этом должна быть длина диффузора, не будет ли отрыва пограничного слоя на этой длине?

6.17. Измерительный участок в плоской аэродинамической трубе для изучения течения в пограничном слое расположен на расстоянии 0,7 м от входа в рабочую часть. Труба работает на расширении атмосферного воздуха (pо= 760 мм рт.ст., То = 288 К). Определить, при какой максимальной скорости на входе в измеряемом сечении пограничного слоя еще будет ламинарный режим течения, какова при этом будет толщина пограничного слоя. При какой минимальной скорости на входе в измеряемом сечении будет турбулентный пограничный слой, какова его толщина d ?

7. Аэродинамические силы, моменты

и их коэффициенты

В результате движения тела со стороны окружающей среды на него действуют поверхностные силы, которые можно привести к одной результирующей силе  и результирующему моменту .

Для практических расчетов обычно пользуются проекциями векторов  и  на оси скоростной и связанной систем координат (рис. 7.1., 7.2).

Проекции  на оси скоростной системы координат:

 – сила лобового сопротивления;

 – подъемная сила;

 – боковая сила.

Проекции  и  на оси связанной системы координат:

 – продольная сила;

 – нормальная сила;

 – поперечная сила;

 – момент крена;

 – момент рыскания;

 – момент тангажа или продольный момент.

Входящие в формулы безразмерные аэродинамические коэффициенты , , , , , ,  ,  ,   называются так же, как соответствующие им силы и моменты. Здесь l и b – характерные размеры (обычно для крыла и самолета: l – размах, b= bА – средняя аэродинамическая хорда); S – характерная площадь (обычно для крыла и самолета S = Sкр – площадь крыла в плане; для фюзеляжей, корпусов ракет и т.п. S= Sm – площадь миделевого сечения).

Коэффициент полной аэродинамической силы определяется соотношением

.

Выражение подъемной силы для участка крыла шириной dz через циркуляцию скорости Г(z) (формула Жуковского) имеет вид

dYa (z) = r¥ V¥ Г(z) dz,

для всего крыла

Ya = r¥ V¥ Гср  l,

где Гср – средняя по размаху крыла циркуляция скорости.

Аэродинамическим качеством профиля называется отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления

 или .

При обтекании профиля a < aкр

,

где  – угловой коэффициент прямолинейного участка графика ; aо – угол нулевой подъемной силы (угол атаки при котором ).

,

где  – коэффициент момента при , зависящий от кривизны профиля f (а для крыла также от крутки и формы в плане);  – угловой коэффициент линейного участка графика .

Точка пересечения линии действия аэродинамической силы с хордой крыла называется центром давления.

Абсцисса центра давления определяется соотношением

или в безразмерном виде

 .

Фокусом крыльевого профиля называется такая точка на хорде, относительно которой главный момент аэродинамических сил потока не зависит от угла атаки. Другими словами, фокус – это такая точка на хорде профиля, в которой приложено приращение подъемной силы DY при изменении угла атаки.

Момент силы Y относительно произвольной точки F на хорде профиля записывается в виде

MF = – Y (xд – xF)= Mz + Y  xF

или через коэффициенты

.

Отсюда следует, что координата фокуса определяется соотношением .

Для большинства профилей при малых дозвуковых скоростях положение фокуса практически постоянно в пределах линейной зависимости  и находится на расстоянии 0,21…0,23 хорды от передней кромки (теоретически  для тонкого профиля – на ¼ хорды).

Согласно теории тонкого профиля в несжимаемом потоке имеем

, ,

, ,

где q – угловая координата, определяемая из соотношения , у(х) – уравнение средней линии профиля,

.

Для симметричного профиля .

Влияние сжимаемости на аэродинамические характеристики тонкого профиля при числе Маха М < Мкр определяется соотношениями:

,

,

,

, ,

 (правило Прандтля–Глауэрта),

где  – коэффициент давления в точке на поверхности профиля.

Критическим числом Маха (Мкр) называется значение числа М¥, при котором хотя бы в одной точке вблизи профиля местная скорость достигает скорости звука.

Звуковая скорость течения на профиле появляется в той точке его поверхности, в которой давление минимально. Связь между Срmin и Мкр устанавливается графиком  С.А. Христиановича (рис. П. 1).

При обтекании профиля околозвуковым (трансзвуковым) потоком, т.е. при режиме обтекания, когда в потоке около профиля имеют место дозвуковые и сверхзвуковые зоны, возникает «волновой кризис», характеризующийся дополнительными потерями механической энергии в обтекающем потоке.

Для определения в первом приближении коэффициента волнового сопротивления в области трансзвукового течения пользуются формулой Г.Ф. Бураго

Схв = А (М¥ – Мкр)3,

где А – коэффициент, зависящий от типа профиля и распределения давления. Для дозвуковых профилей А»11.

При обтекании сверхзвуковым потоком плоской пластины при малых углах атаки (М¥ > 1,5) линеаризованная теория дает следующие формулы:

,

,

где  – коэффициент индуктивно-волнового сопротивления; a – угол атаки пластины в радианах.

С учетом трения коэффициент лобового сопротивления пластины бесконечного размаха (уравнение поляры) представляется в виде

,

где Cf – коэффициент сопротивления трения плоской пластины, определяемый методами теории пограничного слоя.

Коэффициент продольного момента относительно передней кромки пластины рассчитывается по формуле

.

Центр давления (совпадающий в данном случае с фокусом) находится посередине пластины

.

Согласно линеаризованной теории аэродинамические характеристики тонкого профиля в сверхзвуковом потоке при малых углах атаки определяются по формулам

,

,

,

;

,  – уравнения соответственно нижнего и верхнего контуров профиля.

ЗАДАЧИ

7.1. Определить величину средней циркуляции скорости по контуру профиля крыла самолета, летящего горизонтально на высоте 8000 м, mg = 588 000 Н, V = 828 км/ч, l = 32 м, b = 3 м.

7.2. Найти коэффициенты Сха, Суа, если коэффициент полной аэродинамической силы СR = 0,5, качество профиля K = 25.

7.3. Чему равен угол нулевой подъемной силы при полете самолета с a = 0,07рад, если Суа = 0,4; ?

7.4. Определить производную  симметричного профиля, если при испытании в аэродинамической трубе получена подъемная сила Ya = 882 H, S = 3,1 м2 при a = 10о. Скорость потока в трубе V¥ = 29 м/с.

7.5. Определить угол наклона действующей на профиль полной аэродинамической силы к хорде профиля, если Су = 2, Сх = 0,19.

7.6. Коэффициент подъемной силы профиля по результатам испытаний в несжимаемом потоке равен Суанс = 0,2. Чему будет равен Суа для данного профиля при том же угле атаки, если М1¥ = 0,6 и М2¥ = 0,8?

7.7. Оценить коэффициент сопротивления трения профиля с b = 2 м, с = 10 \% при Н = 0, a = 0о и V¥ = 280 м/с.

7.8. Оценить изменение аэродинамического качества самолета, если вместо обычного профиля с абсциссой максимальной толщины  использовать профиль с .Масса самолета 47 т, скорость полета 222 м/с, высота 10 000 м, площадь крыла 138 м2, хорда b = 2 м.

7.9. Определить коэффициент продольного момента профиля крыла самолета, движущегося на высоте Н = 5000 м со скоростью 250 м/с, если mzСу= –0,25, aо= –1о, , a = 6о,        mzо = –0,02.

7.10. Определить максимальное качество Кmах, если Схо = 0,017, а поляра первого рода задана соотношением

Сха = Схо + 0,22 Суа2.

7.11. При испытании модели крыла с хордой b = 1 м и размахом l = 1,7 м в аэродинамической трубе получен минимальный коэффициент давления Сpmin = – 0,6; коэффициент трения Сxf = 0,02. Определить величину сопротивления крыла при М¥ = 0,78; Н = 6000 м без учета индуктивного сопротивления.

7.12. Определить величину Мкр профиля толщиной , S = 2 м2, если в результате эксперимента в аэродинамической трубе получено Yа = 32 кг при V¥ = 20 м/с.

7.13. Есть ли опасность появления волнового сопротивления при М¥ = 0,7, если полученное при испытании в аэродинамической трубе при М<< 1 значение Сpmin = – 0,4.

7.14. Определить, как изменится аэродинамическое качество профиля толщиной  при обтекании его потоком сжимаемой жидкости (М¥ = 0,78) по сравнению с обтеканием потоком несжимаемой жидкости, если Сханс = 0,03, Суанс = 0,36.

7.15. Как изменится коэффициент Суа для пластинки при М<< 1, если заднюю часть поверхности (b1 = 0,2 b) отклонить вверх на угол d = 4о. Угол атаки a = 6о.

7.16. Модель прямоугольного в плане крыла (рис. 7.3) испытана в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью при скорости V¥=50 м/с, угле атаки a = 10о (внешние условия стандартные). Показания весов: Х= – 0,5 Н, Y = 70 Н, Мzb = 21 Нм, l = 0,7 м – размах крыла, b = 0,1 м – хорда крыла, lнос = 0,33 м – расстояние от носка крыла до датчиков, измеряющих продольный момент. Определить Сх, Су, Сха, Суа, , К, mz (относительно носка модели).

Рис. 7.3

7.17. Самолет, имеющий площадь крыла S = 20 м2, Сха = 0,02, выпускает два тормозных щитка. Площадь одного щитка Sщ = 0,25 м2, Схащ = 1,3. Определить коэффициент сопротивления самолета с выпущенными щитками СхаS ?

7.18. На сколько процентов изменится максимальное аэродинамическое качество самолета при установке на крыле концевых крылышек, увеличивающих эффективное удлинение на 10 \% (Dlэф=10), а сопротивление на 6 \% (DСхо = 6 \%) ?

7.19. Оценить (с учетом интерференции) силу, действующую на прямоугольный в плане обтекатель с тонким симметричным профилем, установленный под фюзеляжем (Dф = 3 м) (рис. 7.4). Размеры обтекателя: h = 0,3 м,  b=0,1 м. Высота полета Н= 4 км, скорость полета V¥  = 600 км/ч, угол скольжения b = 5о.

Рис. 7.4

7.20. Определить коэффициент профильно-волнового сопротивления для изображенных на рис. 7.5 четырех профилей с относительной толщиной  при числе М¥ = 2,5. Построить эпюру распределения давления по каждому профилю при углах атаки a = 0, – 5о, +5о.

Рис. 7.5

7.21. Найти Сха и Суа симметричного ромбовидного профиля с максимальной относительной толщиной 5\% на режиме максимального качества при М = 2,2, если Схf = 0,01.

7.22. Как изменится момент относительно передней кромки пластины, если хвостовую часть поверхности пластины b1= 0,2 b отклонить вниз или вверх на угол d = 4о, М = 2,0.

7.23.* Определить mzo для профиля, выполненного в виде дужки (рис. 7.6), описываемой уравнением , при числе М¥ =2.

Рис. 7.6

7.24.* Определить коэффициент сопротивления (без учета сопротивления трения) несимметричного профиля, верхняя и нижняя поверхности которого заданы уравнениями: ; . Принять угол атаки a=5о, М¥ =2.