Название: Информатика - Алгоритмы и программы (Н.В. Усольцев)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1276


4. сплайн-интерполяция

Кубический сплайн представляет собой полином третий степени вида:

                                                 (6)

коэффициенты которого на каждом элементарном интервале   имеют разные значения. В принятой системе индексации номер сплайна совпадает с номером правой границы элементарного интервала, на котором он работает.

Для функции , заданной набором (n+1) точек  получается n отрезков интерполяции и, соответственно, n сплайнов (i=1, 2, 3,..., n), которые имеют 4n коэффициентов. Для определения последних необходимо 4n уравнений.

Обычно для сплайн-интерполяции используют равноотстоящие по x точки, т.е. все элементарные интервалы равны:. Коэффициенты  и  выбираются таким образом, чтобы интерполирующие сплайны имели одинаковые производные первого и второго порядка в точках сшивки. Это позволяет получить очень качественный результат интерполяции, который используется для различных целей.

Эти уравнения можно получить из условия равенства значений интерполируемой функции и сплайна в узловых точках:

                                                     (7)

а также сшивки на границах элементарных интервалов первых производных сплайнов:

,       (i = 1, 2, …, n – 1)                                                                                  (8)

и вторых производных:

,            (i = 1,2, …, n – 1).                                                              (9)

Недостающие два уравнения получаются из условия «свободного закрепления концов»:

;              .                                                                                               (10)

Подстановка (6) в уравнения (7) – (10) и некоторые преобразования приводят к следующей системе уравнений:

                                                                         (11)

где  – расстояние между соседними точками (шаг по x).

Коэффициенты  определяются просто:

                                 (i = 1, 2, …, n)                                                         .                           (12)

Затем можно определить коэффициенты . Для этого из уравнений системы (11) необходимо исключить и , что приводить к выражению:

 .                                               (13)

Эта запись при развертывании индекса i в указанных пределах превращается в СЛАУ относительно . Данная система имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов, в главной диагонали ее содержится 4, а в прилегающих к ней  –1. Для решения таких систем обычно используется метод прогонки.

После определения коэффициентов  можно определить :

                                                                          (14)

и :

                                                                         .                                    (15)

Подробные выкладки с выводом всех формул, используемых в сплайн-интерполяции, приведены в Приложении 1.