Название: Информатика - Алгоритмы и программы (Н.В. Усольцев)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1278


5. вычисление несобственных интегралов

Для вычисления интегралов с бесконечными пределами можно использовать итерационный алгоритм последовательного увеличения пределов. Например, при вычислении интеграла

в качестве верхнего предела берется конечная величина , которая на каждой итерации увеличивается по какому-либо закону (например, умножается на определенный коэффициент,  больший 1) до  тех  пор, пока  значение  интегралов на данной и на предыдущей итерациях не будут различаться на величину, меньшую заданной погрешности .

Для успешного применения данного алгоритма рекомендуется проанализировать и представить графически вид подынтегральной функции. Это позволяет корректно выбрать начальное значение верхнего предела  и коэффициент, на который оно будет умножаться. При неудачном выборе этих величин данный алгоритм может расходиться.

Для вычисления интегралов с бесконечным верхним пределом можно воспользоваться квадратурной формулой Лаггера в одном из ее следующих видах:

         или                          (9)

Величины для  и  для n = 10 приведены в таблице 2:

Таблица 2

 

X1= 0.0933078120;

W1=2.18234885940E-01;

 

X2= 0.4926917403;

W2=3.42210177923E-01;

 

X3= 1.2155954120;

W3=2.63027577942E-01;

 

X4= 2.2699495262;

W4=1.26425818106E-01;

 

X5= 3.6676227217;

W5=4.02068649210E-02;

 

X6= 5.4253366274;

W6=8.56387780361E-03;

 

X7= 7.5659162266;

W7=1.21243614721E-03;

 

X8= 10.1202285680;

W8=1.11674392344E-04;

 

X9= 13.1302824821;

W9=6.45992676202E-06;

X10= 16.6544077083;

W10=2.22631690710E-07;

X11= 20.7764788994;

W11=4.22743038498E-09;

X12= 25.6238942267;

W12=3.92189726704E-11;

X13= 31.4075191697;

W13=1.45651526407E-13;

X14= 38.5306833064;

W14=1.48302705111E-16;

X15= 48.0260855726;

W15=1.60059490621E-20;

 

6. Вычисление двойных интегралов

Для вычисления двойных интегралов

с постоянными пределами по x и по y (т.е. по прямоугольной области) удобно пользоваться формулой двумерного метода Симпсона:

 

где под знаком сумм складываются значения подынтегральной функции в девяти узловых точках вокруг точки с координатами  (рис. 1):

На этом рисунке представлен один из элементарных участков разбиения плоскости интегрирования X-Y вблизи точки с координатами  (xi, yi). Вокруг этой точки сделаны шаги в разные стороны . В результате образовалось 9 точек, в которых и вычисляется значение подынтегральной функции, входящие в формулу Симпсона. Далее осуществляется суммирование по всем таким элементарным участкам.

                 Рис. 1.

 

Если область интегрирования не прямоугольная, то задача усложняется. В этом случае пределы интегрирования по y являются функциями x -  ay(x) и by(x):

В этом случае необходимо организовать двойной процесс интегрирования: внешний по x для которого подынтегральная функция будет вычисляется как результат интегрирования f(x,y) по y.

При этом реализуется следующая иерархическая модульная структура (рис.2):

 

           

 

Рис. 2