Название: Информатика - Алгоритмы и программы (Н.В. Усольцев)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1278

7. программное обеспечение к работе

В работе используются готовые программы, которые объединены в два модуля: Integral и Simpson. В первый входят функции для вычисления интегралов от функции одной переменной различными методами, а во второй – функции для вычисления интегралов (одномерных и двойных) на основе метода Симпсона.

Состав модуля Integral следующий:

SdxSimps()                - функция для интегрирования методом Симпсона по заданному числу разбиений;              

SdxGauss10()  - функция для интегрирования методом Гаусса по 10 точкам;     

SdxSimpsEps() - интегрирование методом Симпсона с заданной погрешностью;

SdxLagger15() - расчет интегралов с нулевым нижним и бесконечным верхним пределом по квадратурной формуле Лаггера по 15 точкам;

SdxSimps00() - расчет интегралов с нулевым нижним и бесконечным верхним пределом на основе алгоритма увеличения верхнего предела и метода Симпсона;

SdxPolynom()           - расчет интеграла от подынтегральной функции - полинома;

SdxSpline()    - вычисление интеграла от табличной функции в пределах X0...Xn на основе ее сплайн-интерполяции;

SdxSimpsTab()          - вычисление интеграла от табличной функции методом Симпсона.

Модуль Simpson включает в себя следующие функции:

SdxSimps()   - одномерное интегрирование методом Симпсона;     

Simps2DRect()         - двумерное интегрирование методом Симпсона в прямоугольной области;

Simps2DFree()         - двумерное интегрирование методом Симпсона в области с произвольными границами.

Анализ состава входных и выходных параметров функций, а также реализованных в них алгоритмов необходимо выполнить самостоятельно, в порядке выполнения нижеследующих заданий.

Кратко поясним только следующий момент. Функция Simps2Dfree() основана на структурной схеме, изображенной на рис. 2. Там показано два модуля для выполнения одномерного интегрирования: по x и по y. Но так как язык С допускает рекурентное обращение к функциям, то реально используется один и тот же модуль-функция SdxSimps() для интегрирования и по x, и по y.

8. Задание к работе

Разработать подпрограммы-функции для вычисления первой и второй производных от произвольных функций, заданных алгоритмически, т.е. в виде подпрограмм-функций на основе формул (3) и (4). Имя дифференцируемой функции должно присутствовать в списке параметров. Проверить работу подпрограмм на некоторых аналитически дифференцируемых функциях и сравнить результаты аналитического и численного дифференцирования.

Разработать подпрограмму-функцию для вычисления первой производной с заданной точностью на основе выбора величины дифференцирующего приращения путем деления его на 2.

Разработать подпрограмму-функцию для вычисления первой и второй производных от произвольных функций, заданных таблично на основе интерполяции классическим полиномом. Для интерполяции рекомендуется использовать функцию IntClassic()  из модуля Polynom. Для испытания взять таблицу аналитически дифференцируемой функции и сравнить результаты аналитического и численного дифференцирования.

Проанализировать функции модуля Intrgral.

Разработать управляющие программы для вычисления интегралов с помощью функций этого модуля. Вычислить интегралы от тестовых функций. Тестовые функции необходимо получать у преподавателя или брать самостоятельно таким образом, чтобы можно было легко проверить результат, т.е. эти функции должны быть аналитически интегрируемы.

Разработать подпрограмму-функцию erf(z) для вычисления функции ошибок:

использующую подпрограмму численного интегрирования методом Симпсона или Гаусса. Рассчитать значения erf-функции в пределах от 0 до 2 с шагом 0.2, сравнить результаты с табличными и построить ее график.

Разработать функцию для вычисления интеграла Ферми

Вычислить интеграл от функции Бесселя порядка n в пределах между двумя ее соседними корнями.

Разработать управляющую программу для расчета двойного интеграла в прямоугольной области на основе формулы Симпсона. Проверить работу программы на тестовой функции.

Разработать управляющую программу для расчета двойного интеграла в криволинейной области на основе формулы Симпсона. Проверить работу программы на задаче вычисления объема полушария. Она должна получиться равной .

Указание. При задании границ области в виде полуокружностей рекомендуется записывать функции границ в виде:

double F(double x)

// функция нижней границы

{

  return -sqrt(fabs(1-x*x));

}

Использование функции fabs() необходимо, чтобы избежать сбоев при появлении корня из отрицательного числа при небольшом заходе x за пределы 1, что может происходить с учетом ограниченной точности вычислений.

9. Литература

4, 5, 6, 7, 9, 13, 14 из списка литературы.

Лабораторная работа № 11

Статистическая обработка данных

1. Введение

Большинство измеряемых (или, как говорят статистики, наблюдаемых) в физических экспериментах величин имеет случайный характер. Это связано с тем, что на объект и результат измерения влияет бесконечное множество факторов, а экспериментатор обычно может учитывать только основные. При повторении наблюдений в якобы одинаковых условиях получается ряд неповторяющихся значений - выборка из генеральной совокупности (бесконечного множества возможных значений). По данным выборки можно получить важную информацию о наблюдаемой величине.

В лабораторной работе изучаются основные методы и алгоритмы статистической обработки данных.

2. Основные характеристики и параметры распределений случайных величин

Непрерывная случайная величина x характеризуется функцией распределения P(x). Ее статистический смысл заключается в вероятности того события, что в результате  i-того наблюдения  будет иметь значение, меньшее или равное  x:

Величина P(x) может изменяться от 0 (вероятность невозможного события) до 1 (вероятность достоверного события). Функция  обычно имеет область определения  или . Если функция распределения известна, то вероятность попадания случайной величины x в интервал  в конкретном наблюдении равна:

На практике чаще используют дифференциальную функцию распределения - плотность вероятности

                        .

Она имеет физическую размерность, обратную размерности величины x и также позволяет рассчитывать вероятность попадания случайной величины в интервал :

                        .

Функция  подчиняется условию нормировки: вероятность попадания в интервал всей области определения равна единице:

(в дальнейших формулах предполагается область определения ).

Интегральными характеристиками распределения случайной величины  являются математическое ожидание или генеральное среднее

и первые моменты k-того порядка

                         - дисперсия,

и производные от них

                         - асимметрия

                         - эксцесс.

Кроме этого используются характеристики

мода ()    - значение x, при котором  имеет максимум;

медиана (m) - значение x, делящее площадь под распределением  пополам.

Наиболее распространенным на практике является нормальный или гауссов закон распределения

с параметрами μ и σ. Для этого закона ; ; ; , , .

Другими самыми распространенными распределениями являются:

t-распределение Стьюдента

где      ν - параметр распределения, называемый числом степеней свободы;

 - гамма-функция.

При  распределение Стьюдента переходит в нормальное с параметрами

 μ = 0 и σ = 1.

- распределение Пирсона

;                    

где      ν - параметр распределения - число степеней свободы;

Часто используется также F-распределение Фишера с двумя параметрами m и n:

            ;  .

3. Обработка данных выборки

По результатам выборки   можно рассчитать

                                            - среднее выборки;

                          - дисперсию выборки;

                              - асимметрию выборки;

                    - эксцесс выборки.

            По этим данным можно провести статистические оценки:

применимости нормального закона распределения для элементов выборки;

оценку интервала, в котором находится математическое ожидание μ;

оценку интервала, в котором находится дисперсия .

Относительно двух последних оценок можно сказать следующее. По данным выборочных наблюдений нельзя точно определить значения параметров распределения μ и , можно только указать интервал, в котором их значения находятся с заданной вероятностью. При попытке устремить эту вероятность к единице интервал становится бесконечно большим; при попытке устремить его к точке вероятность становиться равной нулю.