Название: Информатика - Алгоритмы и программы (Н.В. Усольцев)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1276

2. метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов используется для определения параметров функции известного вида и формулируется следующим образом: параметры функции выбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений между заданными значениями функции и полученными в результате аппроксимации с использованием приближающей функции   в точках  была бы минимальной:

.                                              (1)

Параметры аппроксимирующей функции , , ...,  определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений, которая получается из условия минимума функции : 

.                      (2)

Число уравнений равно  числу определяемых параметров (k+1). Если функция линейна по параметрам, то система (2) превращается в СЛАУ.

Оценкой погрешности аппроксимации может служить среднеквадратичное отклонение

                                 (3)

где f – число степеней свободы, равное разности между числом точек n и числом определяемых параметров аппроксимации (k+1): .

3.  Аппроксимация полиномами

Во многих задачах в качестве аппроксимирующей функции используют полином первой степени (линейную функцию):

,

второй степени:

,

или третьей:

,

Полиномы более высоких порядков для аппроксимации монотонных функций используются редко. Низшим предельным случаем можно считать полином нулевого порядка , когда функция аппроксимируется ее средним значением.

Полиномы являются линейными функциями относительно их коэффициентов , поэтому система уравнений (2), полученная по методу наименьших квадратов, представляет собой СЛАУ. Сумма квадратов отклонений для полинома третьей степени имеет вид:

                                            (4)

Последовательно дифференцируя это выражение по , а затем приравнивая полученные производные нулю, получим СЛАУ следующего вида:

                                   (5)

Суммирование во всех случаях осуществляется по индексу точки i от 1 до n. Если порядок полинома k ниже трех, то используются части матрицы и векторов СЛАУ.

Система может решаться любым способом. Чтобы обусловленность матрицы коэффициентов СЛАУ была хорошей, точки  рекомендуется выбирать равноудаленными друг от друга. При решении рекомендуется использовать двойную точность переменных.