Название: Настройка станков со сложной кинематической структурой - Методические указания (М.Е. Казанцев)

Жанр: Технические

Просмотров: 1057


Метод непрерывной дроби

 

Из указанных приближенных методов высокая точность может быть получена разложением исходной дроби в непрерывную

.

Удобнее раскладывать дробь с помощью калькулятора.

Целая часть  исходной дроби фиксируется и отнимается, а дробная поворачивается оператором . Целая часть  полученной дроби фиксируется и отнимается, а оставшаяся часть поворачивается и т.д.

Получается ряд значений    .

По этим цифрам рассчитываются числители промежуточных дробей:

.           (7)

Делением полученных числителей на исходную дробь определяются знаменатели промежуточных дробей:

                        .                                         (8)

Делением результата на принятое значение знаменателя без единицы определяются погрешности промежуточных дробей:

.                                   (9)

Пример

Дано. Гитара из двух передач рис. 2,а.

Исходное передаточное отношение .

Допустимая погрешность .

Набор колес станка модели 5Д32.

Решение

Непрерывная дробь передаточного отношения ;

.

Числители промежуточных дробей:

.

Знаменатели промежуточных дробей и погрешности:

;     .

 Принято  .

  .

          .

Полученная погрешность  меньше допустимой .

Принято .

 

Пример

Дано. ;    .

Решение

Числители промежуточных дробей:

.

Знаменатели дробей:

Погрешности:

.

Требуемая точность:  обеспечивается дробью .

Сменные колеса для этой дроби

.

Погрешность расчета настройки:

 

Прибавление (вычитание) малых чисел

к числителю и знаменателю дроби

близкой к единице (Метод Кнаппе)

 

Используется метод для настройки передаточных отношений в форме простой дроби .

Вначале выделяется часть дроби передаточного отношения близкая к единице . Здесь  является множителем знаменателя исходной дроби. Принимается множитель искомой дроби , близкой к .

Передаточное отношение .

К числителю и знаменателю части дроби  прибавляются (вычитаются) малые числа . Передаточное отношение определяется по формуле:

.                                        (10)

Наибольшая величина прибавляемого числа  определяется из выражения:

,                                    (11)

где  – допустимая погрешность.

Достижимая точность расчета для конкретных исходных данных, выраженная погрешностью , определяется зависимостью:

         .                                   (12)

Меньшая погрешность получается при .

 

Пример 1

Дано. Гитара из двух передач (рис. 2,а).

Исходное передаточное отношение .

Допустимая погрешность .

Решение

Исходная дробь преобразуется в простую:

     .

Множитель знаменателя исходной дроби . Принято  – множитель знаменателя искомой дроби.

 

Достижимая точность для этих данных (12)

.

Решение возможно для этих исходных данных.

Наибольшая величина прибавляемого числа (11)

.

Принято .

Передаточное отношение:

Варианты решения:

       ,        .

     ,             .

      ,   .

    ,     .

Возможны решения при  и .

Выполнимое решение при

    Принято ,     .

 

Пример 2

Дано. Гитара двухпарная (рис. 2,а).

Исходное передаточное отношение .

Допустимая погрешность .

Решение

Множитель знаменателя .  Принято 3.

Погрешность ,

.  Решение возможно.

Наибольшее прибавляемое число (11)

.          Принято .

Варианты решения:

     ;          .

  ;  

    ;      .

  ;       .

Возможные решения при

        .

          .

        .

        .

 

Высокоточные расчеты

настройки гитар

 

Высокоточные расчеты настройки выполняются с учетом особенностей аналитических приближенных методов. В отличие от них в расчетных формулах, а следовательно, и в ходе расчетов учитывается требуемая точность настройки. Обеспечивается она автоматически ходом расчета.

Из приближенных методов более высокая точность получается методом непрерывной дроби, по которому десятичная дробь исходного передаточного отношения преобразуется в прос-

тые промежуточные дроби с разной точностью, в том числе и

с высокой.

На графике рис. 7 значения четных промежуточных дробей расположены выше, а нечетных ниже прямой, отражающей исходное передаточное отношение .

 

 

Рис. 7. Зависимости непрерывной дроби

 

По мере роста номера промежуточных дробей их точки приближаются к прямой. Точность дробей возрастает. Точка исходной дроби лежит на прямой и является конечной.

Методом непрерывной дроби используется поле графика от начала до конечной точки. Если на этом участке не получены дроби c требуемой точностью или (чаще) дроби не раскладываются на множители, кратные числам зубьев колес набора, то задача настройки гитар этим методом не решается.

Для решения таких задач предполагается использовать график рис. 7  за конечной точкой.

Точка прямой графика (рис. 7), расположенная на расстоя-нии  отрезков  и  от конечной точки, отражает новую дробь с высокой точностью при отношении  или близким к исходному передаточному отношению .

Передаточное отношение этой дроби определяется зависи-мостью

где  – базовая дробь, за которую принимается исходная дробь или любая промежуточная с погрешностью d0, близкой к допустимой (лучше меньше ее);  и  – прибавляемые числа соответственно к числителю и знаменателю дроби. За эти числа принимаются промежуточные дроби, стоящие до базовой.

Точность расчета вводится в уравнение передаточного отношения в виде допустимой погрешности  с помощью коэффициента  увеличения членов базовой дроби при сохранении ее величины .

Формула передаточного отношения принимает вид

                                         (13)

Коэффициент увеличения членов базовой дроби определяется уравнением  

          .                                    (14)

Начиная с этого коэффициента, все найденные дроби будут с погрешностью не более допустимой.

Варианты искомых простых дробей определяются по зависимостям

.   (15)

При дальнейшем повышении коэффициента , начиная

с расчетного, получаются искомые простые дроби с требуемой точностью.

В ходе расчета получается много дробей . Часть этих значений не раскладывается на множители, кратные числам зубьев колес набора. Для сокращения объема расчета полученные значения числителей  проверяются на раскладываемость на множители по таблице множителей целых чисел [1].

Фиксируются и учитываются в дальнейшем расчете только раскладываемые значения числителей, а затем и знаменателей.

 

Пример 1

Дано. Суммы зубьев передач гитары (рис. 2,а).

Исходное передаточное отношение .

Допустимая погрешность .

Решение

Преобразование  в непрерывную дробь:

Промежуточные дроби. Числители дробей:

Знаменатели промежуточных дробей:  .

Погрешности дробей :

Требуемая точность достигается при , но это число не раскладывается на множители и подбор колес гитары невозможен.

Предложенный метод расчета

 

Принято .

Коэффициент увеличения базовой дроби:

конечный       ;

меньший       

 .

Принято .

Зависимости    и      

                                             

Передаточные отношения и погрешности:

.

 

Результаты расчета занесены в табл. 1.

 

                                                                                               Т а б л и ц а  1

 

1

0

150(3)

401(8)

11

 

16

 

17

 

19

 

33

 

 

 

  1

–1

 

  1

–1

 

  1

 

–1

 

–1

–2

–3

1650

1653

1647

2400

2403

2397

2550

2553

2850

2847

4950

4947

4944

4941

 

4419

4403

 

6424

6408

 

6825

 

7611

 

13225

13209

 

  4,09

–4,97

 

  3,11

–3,18

 

  2,93

 

  2,77

 

–1,97

 

–4,54

 

10–6

10–6

 

10–6

10–6

 

10–6

 

10–6

 

10–6

 

10–6

 

    

    

Варианты  применимы для гитар с двумя приклонами (рис. 3,г).

 

Пример 2

Дано. Исходное передаточное отношение .

Допустимая погрешность .

Решение

Разложение  в непрерывную дробь:

Промежуточные дроби.

Числители

Знаменатели

Погрешности :      

Принято

Конечный коэффициент увеличения: .

Принято .

Меньший

.

Принято .

Зависимости  и        

                                          .

Передаточные отношения и погрешности:

.

Результаты расчета занесены в табл. 2.

 

                                                                                            Т а б л и ц а  2

 

1

0

518(3)

1899(11)

1

 

3

 

 

  (5)

  1

  2

  3

  4

  5

–1

–2

–3

–4

–5

   (15)

  2

  9

12

13

–3

–5

–8

–12

518

521

524

527

530

533

515

512

509

506

503

1554

1560

1581

1590

1593

1545

1539

1530

1518

 

1910

1921

1932

1943

1954

1888

1877

1866

1855

1844

 

5719

5796

5829

5840

5664

5642

5609

5565

 

–4,79

–1,48

–2,47

–3,44

–4,4

1,5

2,59

3,64

4,69

 

–1,44

–2,47

–3,44

–3,77

1,55

2,24

3,28

4,69

 

10–7

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

 

10–7

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

10–6

 

Сменные зубчатые колеса

    

           

Варианты  для гитар с двумя приклонами (рис. 3,г).

 

Расчет настройки гитар

прибавлением чисел

к членам простой дроби,

близкой к единице

 

По методу прибавления малых чисел передаточное отношение гитары определяется зависимостью:

где  – множитель знаменателя искомой дроби;  – простая базовая дробь;  – прибавляемое малое число.

Базовая дробь .  При     .

На графике (рис. 8) прямая дроби  расположена под углом 45°. Это позволяет прибавлять любые равные числа  к числителю и знаменателю дроби.

Фактически множитель знаменателя искомой дроби  принимается кратным числам зубьев колес набора. Поэтому ; . Здесь – точная базовая дробь. Для этой дроби  прибавление одинаковых чисел  к числителю и знаменателю сопровождается погрешностью , возрастающей с увеличением прибавляемых чисел 

.

Поэтому прибавляются малые числа . Отсюда и название метода. Точность расчета настройки гитар этим методом сравнительно низкая.

Повышение точности расчета настройки гитар достигается добавлением к числителю и знаменателю дроби неравных чисел  и  при их отношении , близком к точной базовой дроби . Близкой к точной базовой дроби  должна быть и простая базовая дробь .

Формула передаточного отношения принимает вид:

где  – количество прибавляемых чисел.

Требуемая точность расчета в форме допустимой погрешности  вводится в расчетные формулы через коэффициенты  увеличения членов простой базовой дроби при сохранении ее величины.

Формула передаточного отношения гитары принимает вид:

    .                   (16)

Коэффициент увеличения членов базовой дроби определяется по зависимости

                         ,                                        (17)

где

                          (18)

              при   .

                        при   .                       (19)

Погрешность перевода точной базовой дроби  в простую базовую дробь  определяется уравнением:

 .                                   (20)

При  определяется меньшее значение коэффици-

ента .

Для  появляются предельные значения коэффициента увеличения членов базовой дроби:

Меньшее

    и    большее ,                    (21)

где

 и .                   (22)

При  коэффициент  получается со знаками плюс и минус ().

Для  принимается коэффициент  с плюсом () при разных знаках  и  и с минусом () при одинаковых  знаках коэффициентов  и погрешности  перевода точной базовой дроби в простую .

В ходе расчета настройки гитары выделяются две части.

В первой части определяются простая базовая дробь  и прибавляемые числа .

Во второй части рассчитываются, коэффициент увеличения базовой дроби и искомые передаточные отношения. Вторая часть расчета остается одинаковой, а по первой части выделяются несколько вариантов.

 

Основной вариант

 

Выделяется множитель знаменателя исходной дроби . По нему принимается множитель  знаменателя искомой дроби кратным числам зубьев колес набора и находится точная базовая дробь .

Принимается простая дробь , а по ней определяется простая базовая дробь .

,                     (23)

где ;  – число, приводящее произведение  близко к целому числу. Чем ближе  к целому числу, тем меньше погрешность  преобразования исходной десятичной дроби в простую базовую .

Прибавляемые числа  к числителю и  к знаменателю искомой дроби находятся по зависимости

.                                        (24)

Принимаются соседние целые числа

 при ,

 при .                             (25)

Во второй части расчета определяется коэффициент увеличения членов базовой дроби  и рассчитываются числители  и знаменатели  искомых дробей:

.

Определяются передаточные отношения

.

Пример 1

Дано. Исходное передаточное отношение .