Название: Методы планирования и анализа в экономических и социологических исследованиях - (И.Л. Еланцева)

Жанр: Психология

Просмотров: 1377


Лабораторная работа № 3

 

Исследование экономической

или социологической системы

с использованием модели временного ряда

 

В общем случае дискретная линейная стационарная модель временного ряда описывается стохастическим разностным уравнением [4, 9]:

             (3.1)

 

с процессом {w (×)} , имеющим нормальное распределение и удовлетворяющим условиям:  

,

где y(×) – m-вектор эндогенных переменных;

u(×) – l1-вектор экзогенных (управляющих) переменных;

y(×) – l2-вектор известных детерминированных функций тренда;

D – оператор задержки на один шаг, т.е. D y(t)= y(t-1),

   ,.

 

Модель (3.1) будем называть ARMAX-моделью [10], поскольку в ней представлена зависимость значения y(t) от предыдущих значений выходной переменной (AR-элементы), процесса скользящего среднего (MA-элементы) и от управляющих воздействий (X-элементы). Уравнение модели (3.1) можно представить в матричном виде:

,

где q – вектор параметров, размерности n = m nz, n z = m(m1+m2) + + l1 m3 + l2. Матрица наблюдений Z(t-1) имеет размерность m х n:

 

.

 

В вектор-строку zT (t–1) объединены наблюдения, необходимые для вычисления yi(t),  i = 1, 2, ..., m,:

 

 

Следует заметить, что составить  вектор z (t–1) и, следовательно, матрицу z(t–1) возможно только начиная с некоторого момента времени, когда накопятся все необходимые наблюдения. Обозначим этот момент времени: nmax = max (m1, m2, m3) , где m1- число предыдущих значений выходной переменной, от которых зависит текущее значение y(t), m3 – число предыдущих значений входной переменной, от которых зависит y(t), m2 – глубина процесса скользящего среднего. Можно сказать, что nmax получает значение максимальной "заглубленности" модели.

Применение метода максимального правдоподобия для оценивания параметров таких моделей в большинстве случаев невозможен из-за отсутствия информации о распределении y(t),

t = 0, …, nmax–1. Поэтому для анализа ARMAX-моделей используют метод условного максимального правдоподобия (УМП), который позволяет вычислить оценку вектора параметров путем минимизации функционала

,

где  – функция условного максимального правдоподобия.

Программа UMP вычисляет оценки параметров q и ковариационную матрицу оценок возмущений r методом условного максимального правдоподобия, реализуя следующий алгоритм:

Начать итерации с пары (q1, r1), которая выбирается исходя из априорной информации о системе. k = 1.

Используя величину qk, получаемую в результате  k-й итерации, вычислить величины Ñqw(t,q k ), t = nmax, ..., N. Оценки возмущений в начальные моменты времени t =0,1,..., nmax – 1 выбираются  равными математическому ожиданию векторов w(t),

т. е. нулю.

Используя величины, полученные на шаге II, вычислить для минимизируемого функционала градиент  и  якобиан C(q, r ) по формулам:

 

,

 

.

 

Получить q  k+1 по формуле 

.

Используя новую оценку  q k+1, вычислить оценку ковариационной матрицы r k+1:

 

 

V. Остановить итерационный процесс, если абсолютное значение приращения оценки q k+1  на очередной итерации меньше, чем заранее заданное малое число. Иначе повторить шаги II–IV.

 

Одношаговый прогноз вычисляется по формуле:

где  – матрица, составленная из векторов z(t-1), в которых возмущения w(j) заменены на их оценки w(j, q) (j = t-1, …, t-m2).

Долгосрочный прогноз для выходного сигнала вычисляется по формуле:

где  – матрица, составленная из векторов z(t-1), в которых возмущения w(j) заменены на их оценки w(j, q) (j = t–1,…, t-m2), и недостающие наблюдения y(t) заменены на оценки .

Качество модели характеризуется средним квадратом ошибки:

.

 

Наилучшей для исследуемого объекта считается модель с наименьшим  значением среднего квадрата ошибки.

Входные данные. Исходными данными для программы UMP являются следующие файлы:

1) файл, содержащий значения параметров, характеризующих структуру модели:

m – размерность выходного сигнала;

l1 – размерность управляющего сигнала;

l2 – размерность вектора тренда;

m1 – количество моментов времени авторегрессионной зависимости;

m2 – количество моментов времени зависимости от скользящего среднего (для ARX-модели m2 = 0);

m3 – количество моментов времени зависимости по управлению;

N – количество выходных сигналов;

L – количество моментов времени моделирования прогноза (если задача долгосрочного прогнозирования не ставится, то

L = 0);

2) файл, содержащий управляющую последовательность (при наличии управляющей последовательности): u(0), u(1), …,

u (N+L-1);

3) файл, содержащий выходную последовательность: y (0),

y (1),…, y(N+L);

4) файл, содержащий последовательность значений тренда (при наличии тренда): y (0), y (1), …, y (N+L-1).

 

Пользователь имеет возможность указать имена уже существующих файлов, содержащих исходные данные.

 

Выходные данные. Результатом работы программы являются файлы:

1) подробный протокол идентификации модели, содержащий значения оценок параметров  и значения оптимизируемых критериев на каждой итерации алгоритмов и для каждого начального значения (если идентификация проводилась несколько раз при различных начальных значениях оценок параметров);

2) файл, содержащий последние вычисленные оценки вектора параметров  и ковариационной матрицы ;

3) файл, содержащий последовательность прогнозируемых значений выходного сигнала (если L > 0)