Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


4.1. постановка задачи

для волнового уравнения

Рассмотрим постановку краевой задачи на примере малых поперечных колебаний струны длиной . Уравнение этого процесса (см. в разд. 3.1) имеет вид

            , . (4.1)

Отклонение  точек струны от равновесного положения зависит от начальных условий:

начальной формы

            ;            (4.2)

начальной скорости точек

            , (4.3)

а также от граничных условий на концах струны, т.е. состояния, в которых находятся точки  и . Существуют самые разнообразные граничные условия. Рассмотрим простейшие из них.

 

Рис. 4.1

 

Рис. 4.2

 

Рис. 4.3

 

Пусть концы струны закреплены, т.е. не подвергаются смещению (жесткое закрепление, рис. 4.1). Это означает, что должны выполняться условия

                        .           (4.4)

В случае, когда один из концов струны, например , свободен от действия на него внешних сил (рис. 4.2), то натяжение струны в этой точке , и поэтому

            .     (4.5)

Один из концов, например , закреплен упруго. Это означает, что на этот конец действует упругая сила , пропорциональная смещению точки (закон Гука) и стремящаяся вернуть точку струны в начальное состояние (рис. 4.3). Так как 

            ,

то

            , (4.6)

где  – коэффициент жесткости закрепления. Условие упругого закрепления для конца  имеет вид

            .         (4.7)

Уровнения (4.4)–(4.7) называются однородными граничными условиями. В общем случае, если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (4.4)–(4.7) принимают вид

            ;            (4.8)

            ;        (4.9)

            ,    ,     (4.10)

где  – заданные функции времени. Условия (4.8)–(4.10) называются неоднородными. Возможны различные комбинации перечисленных типов граничных условий. В итоге можно сформулировать шесть простейших краевых задач.

Рассмотрим теперь предельные случаи. Влияние граничных условий в некоторой точке, достаточно удаленной от границы, на которой они заданы, сказывается через достаточно большой промежуток времени. Если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, когда влияние границ еще несущественно, то вместо полной задачи можно рассматривать предельную задачу с начальными условиями для бесконечной области. Если же мы изучаем явление вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полубесконечной прямой. Подробнее постановки задач на бесконечной и полубесконечной прямой будут сформулированы ниже.