Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


4.3. постановка задачи

для уравнений Лапласа

Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа (3.23), (3.24) в области , имеющей границу , должна, кроме того, удовлетворять некоторым граничным условиям на . Задача формулируется следующим образом: найти функцию , удовлетворяющую внутри  уравнению

 (4.15)

и граничному условию, которое может быть взято в одном из трех видов:

 на  (первая краевая задача или задача Дирихле);

 на  (вторая краевая задача или задача Неймана);

 (третья краевая задача),

где  заданные функции;  производная по внешней нормали к границе . Физический смысл этих граничных условий очевиден (см. предыдущие параграфы этой главы). Заметим, что второе условие требует уточнения. Если функция  – стационарное распределение некоторой физической величины (например, температуры), то такое распределение может устанавливаться лишь при равенстве нулю суммарного потока (тепла) через границу области. Отсюда следует, что функция  должна удовлетворять дополнительному требованию .

Если ищется решение в области , внутренней (или внешней) по отношению к границе , то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей. Кроме перечисленных основных типов краевых задач существуют и другие, встречающиеся в различных приложениях.

Задачи

Абсолютно гибкая однородная нить закреплена одним из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия. Выведите уравнение малых колебаний нити.

Поставьте краевую задачу о нахождении температуры стержня с длиной , имеющего теплоизолированную боковую поверхность, если начальная его температура задается функцией . На концах стержня: а) поддерживается заданная температура; б) подается извне заданный тепловой поток, т.е. количество тепла, поступающего в единицу времени; в) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана функцией .

На боковой поверхности стержня происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана функцией . Напишите уравнение теплопроводности.

Поставьте краевую задачу о распределении температуры в полуограниченном стержне, конец которого горит. Фронт горения распространяется вдоль стержня с постоянной скоростью  и имеет известную температуру .

 

Примечание. Здесь под горением понимается мгновенное удаление продуктов горения.

Неограниченный стержень с постоянным поперечным сечением получен соединением двух полуограниченных однородных стержней с различными коэффициентами тепло- и температуропроводности. Начальная температура стержней задается известными функциями . Поставьте задачу о распределении температуры в таком стержне.

Поставьте краевую задачу об остывании тонкого кольца. Начальная температура стержня – известная функция . Рассмотрите два варианта решения задачи: 1) когда за пространственную переменную выбрана координата  вдоль кольца; 2) когда за пространственную переменную выбран полярный угол .

Две пластинки толщиной  и  , изготовленные из разных материалов и нагретые до температур  и , в момент  приводятся в соприкосновение большими гранями. Поставьте задачу, определяющую процесс выравнивания температуры внутри пластинок, считая, что свободные грани теплоизолированы от окружающей среды.