Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


Г л а в а  5.   решение уравнений в ограниченной области. метод разделения переменных

Основным методом решения линейных дифференциальных уравнений математической физики является метод разделения переменных. В его основе лежит метод приведения уравнения в частных производных к краевой задаче Штурма–Лиувилля с последующим нахождением собственных значений и собственных функций задачи по заданным граничным условиям. Если уравнение неоднородное или заданы неоднородные дополнительные условия, то соответствующие функции представляются рядом Фурье по собственным функциям задачи. В этом случае метод часто называют методом собственных функций. Оба метода универсальны и применяются к решению линейных уравнений (с линейными граничными условиями) любого типа уравнений математической физики.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением задач, заданных в основном в прямоугольных областях. Это связано с тем, что задачи, заданные в цилиндрических или сферических областях, как правило, приводят к решениям, содержащим специальные функции (функции Бесселя, полиномы Лежандра и др.).

Рассмотрим, например, волновое уравнение

            , , .   (5.1)

Пусть также имеются дополнительные условия:

начальные

            , , ,        (5.2)

граничные

            , ,           (5.3)

где  заменяет одно из однородных граничных условий: 1)  на   или ; 2)  на  или ; 3)  на  или . В (5.1)  – непрерывные на отрезке  положительные функции. 

Будем искать решение уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным условиям, в виде

            .       (5.4)

Подставляем (5.4) в уравнение (5.1) и делим полученное уравнение на :

            .             (5.5)

Чтобы функция (5.4) была решением уравнения (5.1), равенство (5.5) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для всех значений независимых переменных , . Правая часть равенства (5.5) является функцией только переменной , а левая – только  переменной . Но это возможно тогда, когда обе части этого равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

            ,     (5.6)

где  – постоянная. Из (5.6) получаем два дифференциальных уравнения

            , ;      (5.7)

            , .      (5.8)

Граничные условия (5.3) дают: , . Отсюда следует, что для получения нетривиального решения функция  должна удовлетворять условиям , . Таким образом, в связи с нахождением функции  мы приходим к задаче на собственные значения (задача Штурма–Лиувилля)

            ,   .            (5.9)

Решению этой задачи посвящена глава 1, там было показано, что нетривиальное решение существует только при некоторых собственных значениях  при . Для каждого собственного значения  существует одна действительная дважды непрерывно дифференцируемая собственная функция  такая, что последовательность собственных функций, соответствующих различным собственным значениям, удовлетворяет свойству ортогональности:

               .

Определив собственные значения и собственные функции краевой задачи (5.9), приступаем к решению уравнения (5.8) при заданных начальных условиях (5.2). Это задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка. После нахождения частного решения

                        (5.10)

этого уравнения решение задачи (5.1) – (5.3) записывается в виде

            .       (5.11)

Формальная схема выполнения начальных условий (5.2) основывается на теореме разложения В. А. Стеклова. Из равенств

            ,

находим , , где  и  – коэффициенты Фурье функций  и  при разложении по собственным функциям  с весом . Заметим, что решение неоднородного уравнения вида

            ,    ,

ищется по этой же схеме, представляя функцию  рядом Фурье по собственным функциям  с весом .

Рассмотрим примеры применения этих методов для решения различных уравнений математической физики.

П р и м е р  5.1.  Найдите решение волнового уравнения

            ,   ,   ,

с начальными условиями

            ,              (5.12)

и граничными условиями

            ,    ,    .

Будем искать решение задачи в виде . Подставляя это выражение в уравнение, имеем

            ,

что можно записать так:

            ,

где – постоянная.

Предположим, что . Тогда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:  и . Их решения  и . Следовательно,

            .

Требуя выполнение граничных условий, приходим к системе уравнений

            , .

Эта система имеет нетривиальное решение, если , т.е. при . Это противоречит нашему предположению, что .

При  имеем , , решение которых приводит к тривиальному ответу, что также не годится.

Предположим теперь, что . Тогда  и  . Их решения приводят к функции

            .

Из граничного условия  получаем , а другое граничное условие  выполняется, если , т.е. если , . В результате приходим к функции

            .     (5.13)

Осталось определить постоянные  и , воспользовавшись начальными условиями (5.12). Однако, если функции  и , входящие в начальные условия (5.12) имеют произвольный вид, то, очевидно, что ни при каких постоянных  и  решение (6.13) не может удовлетворять начальным условиям. Поэтому сначала воспользуемся тем, что рассматриваемые здесь уравнения линейные и для них справедливо свойство линейности. Это дает возможность записать решение задачи в виде ряда

            .

Теперь, применяя начальные условия, мы приходим к рядам Фурье:

                и    .

По известным формулам находим постоянные  и :

            , .

Функции  для волнового уравнения называют собственными колебаниями или гармониками, а , – собственными частотами.

 

П р и м е р  5.2.  Найдите решение волнового уравнения

            ,  

при дополнительных условиях: начальных ,  и граничных .

Представляем неизвестную функцию  в виде . После подстановки этой функции в уравнение и деления на  получим

            .

Это равносильно двум уравнениям:

           

Подстановка функции  в дополнительные условия приводит к краевым условиям для функции : . Решение уравнения  при краевых условиях  приводит к собственным значениям   и собственным функциям   (см. задачу 2.1 к главе 1). Тогда общее решение уравнения  для каждого собственного значения  имеет вид  и поэтому

            .

Таким образом,

            .

Формально это выражение представляет ряд Фурье для функции  по тригонометрическим функциям  . Определяем произвольные постоянные из начальных условий. Имеем

            .

Подставляя начальное условие , находим . Это равенство выполняется при . Начальное условие  приводит к соотношению

            ,   .

Из этого ряда Фурье находим коэффициенты

            .

Интегрируя по частям, находим

            ,   ,

или при  ,  Окончательно записываем решение задачи

            .

П р и м е р  5.3.  Начальная температура  стержня с длиной, равной , постоянна. На концах стержня поддерживается нулевая температура. На боковой поверхности стержня происходит теплообмен (охлаждение) по закону Ньютона с окружающей средой, температура которой равна . Найдите распределение температуры вдоль стержня при .

Математическая постановка задачи: найти , которая удовлетворяет неоднородному уравнению теплопроводности

                (5.14)

и дополнительным условиям  и .

Сначала ищем решение однородного уравнения , принимая . Подставив в уравнение и разделив на , получим или , или  . В обоих случаях придем к одинаковым решениям (это можно проверить). Рассмотрим, например, второй вариант, из которого следует . Тогда собственными значениями и собственными функциями будут  и , а решение неоднородного уравнения будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи

            .          (5.15)

Для нахождения функции  подставим (5.15) в уравнение (5.14)

                 (5.16)

и в начальное условие

            ,

где 

            .

Для решения уравнения (5.16) разложим функцию  в ряд Фурье по собственным функциям:

            ,

где

            .

Поэтому решение уравнения (5.16) сведется к решению уравнения

           

с начальным условием

            .

Решением последнего уравнения является функция

           

а следовательно,

            .

П р и м е р  5.4.  Тонкая прямоугольная однородная теплопроводящая пластинка расположена в области , . На ребре  температура задается функцией , где , а на остальных ребрах поддерживается нулевая температура. Обе грани пластинки теплоизолированы, а внутри пластинки отсутствуют источники тепла. Найдите стационарное распределение температуры внутри пластинки.

Стационарное распределение температуры  должно удовлетворять уравнению Лапласа

                или                (5.17)

и граничным условиям

            ,   .      (5.18)

Представляем функцию  в виде . Разделяя переменные в уравнении (5.17), получим

            .

Если , то, обозначив , запишем

                и    ,

откуда следует, что

                и    .

Граничные условия приводят только к тривиальному решению .

Пусть . Тогда  и , что также дает только тривиальное решение.

При  обозначим . В этом случае

                и    ,

решением которых являются функции

             и .

Граничные условия:  дает , а  – ,  и  .

Мы нашли собственные значения и собственные функции задачи. Из граничного условия  находим  или . Итак, функцию  можно записать в виде

            .

Для нахождения коэффициентов  используем последнее граничное условие , из которого получаем

            .

Из этого ряда Фурье находим его коэффициенты

            .

Записываем искомое распределение температуры

            .

П р и м е р  5.5.  Задача Дирихле для круга. Найдите функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри и вне круга с границей , где  – однозначная непрерывная функция в области , , непрерывная при  и ограниченная при . На окружности задано граничное условие

            ,   ,     (5.19)

где  – полярные координаты точки,  – непрерывная функция на окружности .

Прежде всего предлагается самостоятельно доказать, что уравнение Лапласа для искомой функции  в полярных координатах имеет вид

            .         (5.20)

Из требования однозначности функции  следует условие ее периодичности, т.е.

            .    (5.21)

Пусть . Подставляем в уравнение (5.20) и разделяем переменные

            .             (5.22)

Пусть . Тогда, положив , получим  и . Первое уравнение заменой переменной  приводится к уравнению  (см. задачу 2.11 к главе 1). Получим общее решение

            .

Общее решение второго уравнения имеет вид . Из условия (5.21) следует

             

или

            .

Отсюда ,  В результате, переобозначая постоянные, имеем

            .        (5.23)

Самостоятельно покажите, что случаи  и  приводят к решениям, неограниченным при  и .

1. Математическая постановка задачи внутри круга: найдите функцию  – однозначную и непрерывную в области , , удовлетворяющую уравнению (5.20) и граничному условию (5.21). Из условия конечности функции  в точке  следует, что в (5.23) , а следовательно,

           

            . (5.24)

Теперь из равенства  следует, что

            ,

где

            , , .

Подставляя эти интегралы в (5.24), получим требуемое решение.

2. Математическая постановка задачи вне круга: найдите функцию  – однозначную и непрерывную в области , , ограниченную при , удовлетворяющую уравнению (5.20) и граничному условию (5.19). Условие ограниченности на бесконечности требует, чтобы в (5.23) , а на окружности выполнялось условие (5.19). В результате этого получим

            ,

где

            .

До сих пор решались задачи с однородными граничными условиями. Вновь для примера рассмотрим волновое уравнение

            ,   ,          (5.25)

с начальными

            ,   ,       (5.26)

и неоднородными граничными условиями

            ,   ,   .           (5.27)

Введем новую неизвестную функцию :

            ,          (5.28)

где  – некоторая известная функция, которую выбирают такой, чтобы граничные условия (5.24) стали однородными. Для этого подставляем (5.26) в (5.25)–(5.27)

, ,

,

.

Чтобы , достаточно положить

            .

Тем самым краевая задача с неоднородными граничными условиями для

функции  сведена к краевой задаче с однородными граничными условиями для функции . Метод решения последней задачи приведен выше.

Упражнение. Докажите, что неоднородные граничные условия:

,   ;

,   ;

,  

сводятся к однородным с помощью выбора функции:

;

;

соответственно.

 

П р и м е р  5.6.  Правый конец струны, имеющей длину , жестко закреплен, а левый конец двигается по закону , где  – скорость звука в струне. Найдите закон колебания этой струны, если внешняя сила отсутствует, а начальные отклонение и скорость равны нулю.

Постановка задачи: найти функцию , удовлетворяющую уравнению

            ,    ,    ,          (5.29)

начальным

            ,    ,     (5.30)

и граничным условиям

            ,    ,    .        (5.31)

Так как граничные условия неоднородные, введем новую функцию :

            .             (5.32)

Подставляя (5.32) в (5.29)–(5.31), приходим к следующей задаче: найти функцию , удовлетворяющую уравнению

            ,    ,    , (5.33)

начальным

            ,    ,               (5.34)

и граничным условиям

            ,    ,   .          (5.35)

Собственными функциями задачи (5.33)–(5.35) являются функции . Пусть функция  представима в виде ряда Фурье по собственным функциям :

            .          (5.36)

Представим также «возмущающую» силу уравнения (5.33) в виде ряда Фурье по собственным функциям

            ,     (5.37)

где

            .    (5.38)

Подставляя (5.36), (5.37) и (5.38) в уравнение (5.33), получим

            .

Общее решение этого уравнения зависит от значения . При  

            ,         (5.39)

а при

            .   (5.40)

Из первого начального условия в (5.34) и (5.39), (5.40) находим ,  Тогда, подставляя (5.39) и (5.40) в (5.36), получим

           

Находим коэффициенты  из второго начального условия в (5.34)

           

Отсюда определяем

            ,    ,   .

Тогда

           

и из (5.32) находим искомое решение

           

            .

Задачи

Струна с закрепленными концами  и  имеет в начальный момент смещение  и отпускается из состояния покоя в этом положении. Найдите смещение .

Струна с закрепленными концами  и  находится в начальный момент в состоянии покоя в равновесном положении. Каждой точке струны сообщается начальная скорость , где  – постоянная. Найдите смещение точек струны в момент .

Найдите решение волнового уравнения , соответствующее треугольному начальному отклонению

            ,

и нулевой начальной скорости и условиям на границе  и  .

На струну длины  действует внешняя сила, плотность которой на единицу массы струны равна . Левый конец струны жестко закреплен, а правый – свободен. Найдите закон колебания струны, если начальное отклонение и начальная скорость равны нулю.

Стержень с жестко закрепленным концом () находится в состоянии равновесия под действием продольной силы , приложенной к концу . В момент  действие силы  мгновенно прекращается. Найдите колебания стержня, если начальная скорость точек стержня равна нулю.

Найдите температуру стержня  с теплоизолированной боковой поверхностью, если конец  поддерживается при постоянной температуре , а на конец  подается извне постоянный тепловой поток . Начальная температура стержня равна нулю.

Найдите распределение температуры в тонком однородном кольце единичного радиуса, на поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Температура среды равна нулю. Начальное распределение температуры кольца задается функцией .

Найдите температуру стержня  с теплоизолированной боковой поверхностью, один конец которого  теплоизолирован, а на другом конце  происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Температура среды , а начальная температура стержня равна нулю.

Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса  движется с постоянной скоростью  перпендикулярно к своей оси в неограниченной несжимаемой жидкости, которая на бесконечности находится в покое. Найдите потенциал скорости жидкости.

У к а з а н и е.  Вводя цилиндрическую систему координат , связанную с осью цилиндра и осью  вдоль его оси, получим для потенциала скорости  краевую задачу , , .

Найдите стационарное распределение температуры в тонкой пластинке, имеющей форму кругового сектора с углом  и радиуса . Радиусы сектора поддерживаются при температуре , а дуга сектора – при температуре .