Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


Г л а в а  6.  обоснование методов решения уравнений

При решении краевых задач надо убедиться в том, что дополнительные условия:

достаточны для выделения однозначного решения, что достигается доказательством теоремы единственности;

не переопределяют задачу, т.е. среди них нет несовместных условий? это достигается доказательством теоремы существования? доказательство существования решения обычно тесно связано с методом нахождения решения;

приводят к устойчивым решениям, т.е. к непрерывным зависимостям решения от дополнительных условий.

Если решение задачи удовлетворяет этим трем требованиям, то говорят, что математическая задача поставлена корректно.

Рассмотрим корректность постановки краевых задач для уравнений колебания и теплопроводности. Всякий физически определенный процесс должен описываться функциями, непрерывно зависящими от начальных данных. Иными словами, при малом изменении начальных и граничных условий задачи ее решение должно мало изменяться. Если бы не было этой непрерывной зависимости, то два существенно различных процесса могли бы соответствовать практически одинаковым системам начальных условий, различие которых лежит в пределах точности измерений. Процессы такого типа нельзя считать физически определенными такими начальными условиями. В [1, 2] доказывается, что поставленные краевые задачи колебания и теплопроводности приводят к устойчивым решениям.

Относительно теоремы существования следует заметить, что рассмотренный в предыдущей главе метод разделения переменных фактически дает ее доказательство. Строгие доказательства приведены в [1–3].