Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


6.1. теорема единственности

решения уравнения колебаний

Теорема. Существует только одна функция , определенная в области   и удовлетворяющая уравнению

, (6.1)

начальным и граничным условиям

            ,   ,   ,   ,

если выполнены условия:

Функция  и производные, входящие в уравнение (6.1), а также производная  непрерывны на отрезке  при .

Коэффициенты  и  непрерывны на отрезке .

Доказательство. Допустим, что существует два решения рассматриваемой задачи –  и . Рассмотрим разность . Функция , очевидно, удовлетворяет однородному уравнению

           

и однородным дополнительным условиям

            ,   ,   ,   ,

а также условию 1 теоремы. Докажем, что функция  тождественно равна нулю.

Рассмотрим функцию

               (6.2)

и покажем, что она не зависит от . Заметим, что функция  имеет очевидный физический смысл: это полная энергия струны в момент времени . Из (6.2) следует

            .

Дифференцирование под знаком интеграла оправдано, так как полученное при этом подынтегральное выражение является непрерывной функцией в силу условий теоремы. Интегрируя по частям первое слагаемое правой части, будем иметь

            ,

что следует из граничных условий (из  следует  и аналогично для ). Тогда

            ,

т.е. . Учитывая начальные условия, из (6.2) получим:

            .

Из того, что , а также из (6.2) и условия положительности  и  следует, что , , т.е. . Но из начального условия вытекает, что . Поэтому и . Следовательно, если существуют две функции –  и , удовлетворяющие всем условиям теоремы, то , что и требовалось доказать.