Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


6.2. теорема единственности

решения уравнения теплопроводности

Теорема. Существует только одна функция , определенная

в области , , и удовлетворяющая уравнению

            ,          (6.3)

начальным и граничным условиям

            ,   ,   ,         (6.4)

если выполнены условия:

Функция  и производные, входящие в уравнение (6.3), непрерывны на отрезке  при ;

Функция  непрерывна на отрезке .

 

Доказательство. Допустим, что существует два решения рассматриваемой задачи  и . Рассмотрим разность . Функция , очевидно, удовлетворяет однородному уравнению

                       (6.5)

и однородным дополнительным условиям

            ,   ,   ,

а также условию 1 теоремы. Докажем, что функция  тождественно равна нулю. Умножим уравнение (6.5) на  и проинтегрируем по . Получим следующее уравнение:

            .

Как и в предыдущей теореме, все операции здесь выполнимы в силу условий теоремы. В правой части интегрируем по частям и принимаем во внимание граничные условия

            .

Получили, что неотрицательная функция от

            ,             (6.6)

непрерывная при  и равная нулю при  (по начальному условию), имеет неположительную производную при . Отсюда следует, что функция (6.6) тождественно равна нулю. Но тогда и  при , т.е. , что и требовалось доказать.

Доказательства единственности решения уравнений колебания и теплопроводности при других граничных условиях незначительно отличаются от рассмотренных. Также опустим доказательства аналогичных теорем для уравнения Лапласа. Все эти теоремы можно найти, например, в [1–3].