Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


7.1. метод распространяющихся волн

Рассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной струны:

            ;      (7.1)

            , .             (7.2)

Ведем новые переменные: , . Вычисляем

            , ,

            ,

            .

В результате подстановки этих производных в уравнение (7.1) получим

            .           (7.3)

Интегрируя (7.3) по , получим , где  – некоторая функция одной переменной. Интегрируя последнее равенство еще раз теперь по  при фиксированном , получим

            .        (7.4)

Таким образом, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции  и , функция , определяемая формулой (7.4), представляет решение уравнения (7.3). Так как всякое решение уравнения (7.3) может быть представлено в виде (7.4) при соответствующем выборе  и , формула (7.4) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция

              (7.5)

является общим интегралом уравнения (7.1).

Пусть решение рассматриваемой задачи существует. Тогда оно определяется формулой (7.5). Определим  и  таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия

            , .

Интегрируя второе равенство, получим

            ,

где  и  – постоянные. Из полученного равенства и соотношения  находим

                 (7.6)

Подставляя в (7.5) найденные значения  и , получим

           

или

            .  (7.7)

 

Формулу (7.7) называют формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи. Можно проверить, что эта формула удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Следовательно, рассмотренный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи. Функция , определяемая формулой (7.7), представляет процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Из рис. 7.1 видно, что функция  описывает полуволну, распространяющуюся вправо, а  – влево от начального профиля, причем скорости движения этих волн равны параметру . Итак, мы получили, что общее решение задачи (7.1), (7.2) – это суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью , а вторая – налево с той же скоростью. При этом

            , ,

где

            .

Рис. 7.1

 

Если начальная скорость равна нулю (), то отклонение

             (7.8)

есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения. Если же , то

                  (7.9)

представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.

 

П р и м е р  7.1.  Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка . На рис. 7.2 показаны последовательные положения струны через промежутки времени , где  – характерный масштаб длины в задаче.

 

  

Рис. 7.2

 

П р и м е р  7.2.  Пусть ,

           

График этой функции приведен на рис. 7.3. Решением задачи является функция . Вычислим функцию , приняв  (рис. 7.4):

           

Решение  есть разность правой и левой волн с профилем . Последовательное положение этих волн через промежутки времени  представлено на рис. 7.5.

Рассмотрим теперь задачу для неоднородного уравнения колебаний

            ,    ,    ;    (7.10)

            ,    ,   .          (7.11)

Пусть – решение вспомогательной задачи

            ,    ,   ;        (7.12)

            ,    ,   ;        (7.12)

    ,   ,    ,    .      (7.13)

 

   

Рис. 7.3          Рис. 7.4

 

Рис. 7.5

 

Из формулы Даламбера (7.7) находим

            .       (7.14)

Перепишем формулу Даламбера (7.7) в виде

            ,        (7.15)

где функции

            ,   

являются решениями задачи (7.12), (7.13) при  и ,  соответственно, так как непосредственное дифференцирование дает

            .

Покажем теперь, что решение (7.10) с нулевыми начальными условиями ,  имеет вид

            .        (7.16)

Дифференцируя функцию (7.16) и учитывая условия (7.13), находим

   ,        (7.17)

           

            .

Отсюда видно, что функция (7.16) удовлетворяет уравнению (7.10). Из формул (7.16) и (7.17) следует, что решение задачи (7.10), в силу (7.15) и (7.16), можно представить в виде

            .   (7.18)

Пользуясь выражением (7.14) для , получим

. (7.19)

Прямая подстановка (7.19) в (7.10) показывает, что функция (7.19) в самом деле является решением задачи (7.10), если существуют производные ,  и .