Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


7.2. полубесконечная прямая

и метод продолжения

Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной прямой . Эта задача имеет особенно важное значение при изучении процессов отражения волн от концов и ставится следующим образом: найти решение уравнения колебаний  при , , удовлетворяющее начальным условиям , ,  и граничному условию  (или ), .

Рассмотрим сначала случай однородного граничного условия  (или ), , т.е. задачу о распространении начального возмущения по струне с жестко закрепленным концом  (или свободным концом).

Леммы о свойствах решений уравнений колебания, определенных на бесконечной прямой.

Если начальные условия в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки , то соответствующее решение в этой точке  равно нулю.

Если начальные условия в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки , то производная по  соответствующего решения в этой точке  равна нулю.

 

Доказательство. 1. Пусть  – начало координат, т.е. . Тогда условия нечетности начальных условий запишутся в виде , . Функция , определенная формулой (7.7), при  и  равна

            ,

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу свойства определенного интеграла от нечетной функции () в симметричных пределах.

2. Условия четности начальных данных имеют вид , . Заметим, что производная четной функции является нечетной функцией . Из формулы (7.7) следует:

            ,   ,       (7.20)

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу четности . Леммы доказаны.

При помощи этих лемм можно решить задачу: найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

            ,   ,   ,   (7.21)

и граничному условию , .

Рассмотрим функции  и , являющиеся нечетным продолжением функций  и , т.е.

               

Функция

           

определена для всех  и . В силу леммы 1 . Кроме того, эта функция при  и  равна , . Таким образом, рассматривая  только для , , получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи. Возвращаясь к прежним функциям, можно написать

         (7.22)

В области  влияние граничных условий не сказывается, и выражение для  совпадает с решением (7.7) для бесконечной

прямой.

Аналогично, если при  мы имеем свободный конец , то, взяв четное продолжение функций  и

             

получим решение уравнения колебаний

           

или

удовлетворяющее в области  начальным условиям (7.21) и граничному условию .

Сформулируем полученные результаты в виде правил.

 

Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием  начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетно.

Для решения задачи на полуограниченной прямой с граничным условием  начальные данные надо продолжить на всю прямую четно.

 

П р и м е р  7.3.  Пусть начальные данные на полуограниченной прямой, жестко закрепленной при , отличны от нуля только в интервале , в котором начальное отклонение, даваемое функцией , изображается равнобедренным треугольником, а . Решение этой задачи получится, если начальные данные продолжить нечетно на бесконечную прямую. Процесс распространения волн приведен на рис. 7.5.

При рассмотрении задачи с неоднородными граничными условиями решение представляется в виде суммы, каждое слагаемое которой удовлетворяет только одному из поставленных условий. Рассмотрим задачу со следующими условиями:

            .

Граничный режим вызовет волну, распространяющуюся вдоль струны направо со скоростью . Это подсказывает аналитическую форму решения: . Определим функцию  из граничного условия

            ,

Рис. 7.5

откуда  и

            .

Однако эта функция определена лишь в области . Чтобы найти  для всех значений аргументов, продолжим функцию  на отрицательные значения , полагая  при . Тогда функция

           

будет определена для всех значений аргументов и будет удовлетворять нулевым начальным условиям.

Сумма этой функции и функции (7.22) представляет решение задачи с неоднородным граничным условием

Задачи

Решите задачу , , , с начальными условиями , , . В каких точках будут узлы волны (отсутствие отклонений струны)? В каких точках будут пучности волны (наибольшие отклонения струны)? В какие моменты времени вдоль всей струны будет отсутствовать отклонение?

Решите задачу о колебании бесконечной струны, если задано уравнение , , , а начальные условия имеют вид  , , .

Решите графически следующую задачу: , , , с начальными условиями , , , где

           

Построить пять графиков через интервал времени  с.

Решите графически следующую задачу: , , , с начальными условиями , ,  и граничным условием , , где

           

Построить восемь графиков через интервал времени  с.

Та же задача, что и 4, но с граничным условием .