Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


Г л а в а  8.  распространение тепла на бесконечной прямой

Рассмотрим на бесконечной прямой задачу с начальными условиями (задачу Коши): найти ограниченную функцию , определенную в области , , удовлетворяющую уравнению теплопроводности

            ,    ,    ,      (8.1)

и начальному условию

            ,     .             (8.2)

Решение ищем в виде произведения . Подставляя его в (8.1), получаем

            ,

где  – параметр разделения. Отсюда следует , . Решая эти уравнения, найдем решения уравнения (8.1)

            ,        (8.3)

удовлетворяющие условию ограниченности. Здесь  – любое действительное число. Поэтому в (8.3) возьмем знак «плюс» и образуем функцию

            . (8.4)

Если производные, входящие в уравнение (8.1), можно вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла (8.4), то функция (8.4) будет удовлетворять уравнению (8.1) как суперпозиция частных решений этого уравнения.

Требуя выполнения начального условия при , будем иметь

            . (8.5)

Воспользуемся теперь формулой обратного преобразования Фурье:

            .        (8.6)

Подставляя (8.6) в (8.4) и меняя порядок интегрирования, получим

           

            .            (8.7)

Для вычисления внутреннего интеграла требуется знание некоторых свойств кратных несобственных интегралов. Подробности вычислений можно найти, например, в [5]. Приведем здесь лишь окончательный результат:

            .     (8.8)

Подставляя (8.8) в (8.7), приходим к интегральному представлению искомого решения

            ,    (8.9)

где

            .    (8.10)

Функцию  часто называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Функция

                      (8.11)

удовлетворяет уравнению теплопроводности по переменным , что проверяется дифференцированием (8.11). Действительно,

            ,

            ,

            ,

т.е. . Физический смысл функции (8.11) состоит в следующем: функция  описывает температуру в точке  в момент времени , если в начальный момент времени  в точке  выделяется  количества тепла.

Функция  зависит от времени только через аргумент , так что эту функцию можно записать в виде

            .

На рис. 8.1 представлен график этой функции в зависимости от  для различных значений . Почти вся площадь, ограниченная этой кривой, находится над промежутком , где  – сколь угодно малое число, если  – достаточно малое число. Величина этой площади, умноженная на  ,  равна  количеству тепла, подведенному в начальный

 

Рис. 8.1

момент. Таким образом, для малых значений  почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки . Следовательно, в начальный момент  все количество тепла сосредоточено в точке .

Подставляя (8.10) в (8.9), получим общее решение задачи (8.1), (8.2):

            . (8.12)

 

В [2] доказывается, что эта функция для любой ограниченной функции  представляет решение уравнения теплопроводности, непрерывно сходящееся при  к  во всех точках непрерывности этой функции.

 

П р и м е р  8.1.  Найдите решение уравнения теплопроводности, если начальная температура имеет постоянные, но различные значения для  и , т.е.

           

Из формулы (8.12) имеем

           

           

           

            ,           (8.13)

так как (см. [5])

            ,

           

и

            , .

Функция

                 (8.14)

часто встречается в математике и носит название интеграла ошибок. Свойства и таблицы этой функции приведены, например, в [6, 7]. График ее представлен на рис. 8.2. Используя интеграл ошибок, решение (8.13) можно записать в таком виде:

            .             (8.15)

Отсюда видно, что в точке  температура все время постоянна и равна полусумме значений справа и слева. Эта же температура является установившейся (при ).

Решение неоднородного уравнения

            ,   ,   

Подпись:  
Рис. 8.2

с нулевыми начальными условиями , очевидно, должно представляться формулой

            ,

            (8.16)

как это следует из смысла функции .

Задачи

1. Решите задачу

            ,    ,    ,   

2. Решите задачу

            ,    ,    ,   

3. Начальное распределение температуры в бесконечном стержне задается функцией , где  и  – постоянные величины. Найдите закон распределения температуры в стержне в произвольный момент времени.