Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


Г л а в а  9.  распространение тепла на полубесконечной прямой

Если интересуются распределением тепла вблизи одного из концов стержня, а влияние другого конца несущественно, принимают, что этот конец находится на бесконечности. Это приводит к задаче об определении решения уравнения теплопроводности

            ,   ,   ,           (9.1)

на полубесконечной прямой  для значений , удовлетворяющего начальному условию

            ,          (9.2)

и граничному условию, которое в зависимости от заданного характера граничного режима берется в одном из следующих видов:

                или    .

Мы ограничимся рассмотрением только первой краевой задачи, заключающейся в отыскании решения уравнения теплопроводности при граничном условии

            ,    .  (9.3)

Потребуем, чтобы функция  была всюду ограничена.

Решение поставленной задачи представим в виде суммы , где  удовлетворяет условиям

            ,    , (9.4)

а  – условиям

            ,    . (9.5)

Докажем две леммы относительно функции , определяемой интегралом

            .             (9.6)

Лемма 9.1. Если функция  является нечетной, то функция (9.6) обращается в нуль при .

Доказательство следует из того, что подынтегральная функция в (9.6) является нечетной, а пределы интегрирования  – симметричны относительно .

Лемма 9.2. Если функция  является четной, то производная функция (10.6) обращается в нуль при  для всех .

Доказательство следует из того, что

            ,

Так как при  подынтегральная функция нечетная, если  – четная.

Найдем теперь функцию , удовлетворяющую условиям (9.4). Введем вспомогательную функцию , определенную на бесконечной прямой , удовлетворяющей уравнению теплопроводности и условиям

, , .

Эту функцию, пользуясь леммой 1, можно определить при помощи начальной функции , совпадающей с  при  и являющейся нечетным продолжением  для , т.е.

           

так что

            .

Из определения функции  получим:

 | в первом интеграле делаем замену

и используем равенство

            |

.

При  , поэтому

 .      (9.7)

Аналогично, пользуясь леммой 2, можно построить решение уравнения с однородными граничным условием  и начальным условием :

    . (9.8)

П р и м е р.  Решить задачу об остывании равномерно нагретого стержня, на границе которого поддерживается нулевая температура. Постановка задачи: найти функцию , удовлетворяющую уравнению , ,  и дополнительным условиям , . Начальное условие здесь задано при . Тогда формула (9.7) приводит к следующему результату:

.

                         (9.9)

В первом интеграле делаем замену

            ,

а во втором –

            .

Это приведет решение (9.9) к более простому виду

            .

Полученное решение (9.9) помогает решить вторую часть поставленной в начале главы задачи: найти решение , удовлетворяющее дополнительным условиям (9.5). Для этого интервал  разбивается на  частей, а функция  заменяется кусочно-ступенчатой так, чтобы на каждом интервале  функция  равнялась . Для интервалов  строится решение вида (9.9), затем все решения суммируются, и осуществляется стандартный предельный переход от суммы к интегралу. Опуская громоздкие выкладки (см., например [2,3]), приведем окончательный результат:

            .          (9.10)

Функция , где  определяется формулой (9.8), а  – формулой (9.10), дает решение (9.1)–(9.3).

Задачи

1. Решите краевую задачу:

.  

2. Решите краевую задачу:

,

.

3. Решите краевую задачу:

.