Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


Г л а в а  10.  метод интегральных  преобразований

Интегральные преобразования функции  – один из распространенных методов решения линейных дифференциальных уравнений. В общем виде интегральное преобразование функции  определяется формулой

            , (10.1)

где функция  называется ядром преобразования. Функция  называется образом или преобразованием функции . Среди большого разнообразия интегральных преобразований, применяемых при решении задач, рассмотрим два: преобразование Лапласа и преобразование Фурье. Математическое обоснование применения этих методов и их свойства даются в курсе математического анализа, и здесь предполагается, что читатель знаком с ними. Для углубленного знакомства можно порекомендовать, например, [8]. Обширные справочные таблицы рассматриваемых преобразований даны в [9].

10.1. Применение преобразования Лапласа

для решения уравнений

в частных производных

Преобразование Лапласа, определенное формулой (10.1), принимает вид

            .

Пусть имеется линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно неизвестной функции . Если применить преобразование Лапласа к переменной , то получится обыкновенное дифференциальное уравнение на образ  функции . Затем на общее решение полученного уравнения накладываются граничные условия исходной задачи. Наконец, искомое решение  находится обратным преобразованием Лапласа. Применение преобразования Лапласа удобно при решении краевых задач в ограниченной области.

 

П р и м е р  10.1.  Найдем решение уравнения теплопроводности:

            ,   ,   ,

с начальными и граничными условиями

            ,   ,   ,   ,   .

Применение преобразования Лапласа с использованием начального условия  приводит к новому уравнению , общее решение которого можно представить в виде

                    (10.2)

с граничными условиями , , где  – образ функции , а  – образ функции . С учетом этих граничных условий находим частное решение (10.2)

            .

Применяем обратное преобразование Лапласа:

            .         (10.3)

Вычисляем интеграл с помощью вычетов. Полюсы подынтегральной функции определяются из уравнения  и равны , .

Вычет в точке  равен нулю, а в точке  он равен

           

Предполагая, что функция  такова, что интеграл по полуокружности бесконечно большого радиуса, замыкающей в полуплоскости  контур интегрирования, стремится к нулю, по теореме о вычетах получаем

            ,   ,

и, следовательно, решение задачи будет иметь вид

            .

 

П р и м е р  10.2.  Рассмотрим неоднородное волновое уравнение

            ,   ,   ,

с дополнительными условиями

            ,    ,

 ограничена при .

Применяем преобразование Лапласа с использованием начальных условий:

            .

Находим общее решение

            .

Из условия ограниченности решения при  находим , а из условия  – постоянную , в результате чего получаем частное решение

            .

Применяя обратное преобразование Лапласа, находим решение задачи

            ,

где  – функция Хевисайда.

 

П р и м е р  10.3.  Между двумя точками  и  натянута струна. Колебания ее вызваны тем, что струне была придана форма синусоиды , и из этого состояния в момент  струну отпустили. Найдите смещение точек струны во времени.

Записываем уравнение колебания струны , , , и условия , , . После преобразования Лапласа с учетом начальных условий получим обыкновенное дифференциальное уравнение . Его общее решение

           

при заданных граничных условиях приводится к частному решению:

            .

Применяя обратное преобразование Лапласа, записываем решение задачи:

            .

10.2. Применение преобразования Фурье

для решения уравнений

в частных производных

Преобразование Фурье задается формулой

            ,      (10.4)

а обратное преобразование – формулой

            .   (10.5)

Кроме этого общего (комплексного или экспоненциального) преобразования используются косинус-преобразование Фурье

            ,        (10.6)

и синус-преобразование Фурье

            ,     .   (10.7)

Преобразование Фурье – наиболее распространенный метод, применяемый во многих сферах науки и инженерной практики. Это преобразование используется чаще всего при решении задач, заданных в бесконечных или полубесконечных областях. Рассмотрим его применение на следующих примерах.

 

П р и м е р  10.4.  Пусть в бесконечной среде  распространяется тепло. Известно начальное распределение температуры . Источники тепла отсутствуют. Найти распределение температуры в произвольный момент времени.

Записываем уравнение теплопроводности , , , с начальным условием . На бесконечности должны выполняться условия

            ,      при  .

Применяем преобразование Фурье (10.4) к уравнению. Учитывая условия на бесконечности, получаем

            , (10.8)

где  – образ Фурье функции . Преобразование начального условия приводит к соотношению , ;  – образ Фурье функции . Общее решение уравнения (10.8) с учетом преобразованного начального условия имеет вид

            .             (10.9)

Находим , применяя к (10.9) обратное преобразование (10.5):

            .     (10.10)

Для вычисления (11.10) воспользуемся интегралом (9.8). Тогда

           

и по теореме свертки находим

           

Обозначая

            ,

записываем окончательно решение задачи

           

П р и м е р  10.5.  Решить уравнение теплопроводности , , , удовлетворяющее  следующим начальным и граничным условиям:

            ,     ,    ,    ,

            ,        при    .

Поскольку задача рассматривается на полуограниченной прямой с краевым условием , применяем синус-преобразование Фурье (10.7). После преобразования с учетом граничного условия получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

            .

Его частное решение, удовлетворяющее преобразованным начальному и граничным условиям, описывается функцией

            .   (10.11)

Применяем к (10.11) обратное синус-преобразование Фурье:

            .

Для дальнейшего упрощения результата воспользуемся известным интегралом [12]

           

и окончательно записываем решение

            .

Рассмотрим применение преобразования Фурье к уравнению Лапласа.

П р и м е р  10.6.  Найдите решение краевой задачи на полуплоскости  для уравнения Лапласа , , , удовлетворяющее граничным условиям: ,  ограничено при , а также ,  при . Поскольку переменная , удобно использовать преобразование Фурье (10.4) по этой переменной. Приходим к уравнению

            .

Общее решение этого уравнения при условии ограниченности функции при  имеет вид

            .

Учитывая, что , которое следует из граничного условия, находим:

            .

Применим обратное преобразование Фурье

           

Последний интеграл можно упростить, если принять во внимание,

что [12]

            .

В результате этого находим искомое решение

            .

Эта формула известна под названием интегральной формулы Пуассона. Равенство имеет место при всех положительных значениях переменной  при условии, что  ограничена и кусочно-непрерывна на всей числовой прямой.

Задачи

С помощью преобразования Лапласа решите краевую задачу для уравнения колебания , , , , , .

С помощью преобразования Лапласа решите краевую задачу для уравнения теплопроводности , , , с начальным ,  и граничными , , , условиями.

Температура  в полубесконечном стержне  описывается уравнением  с дополнительными условиями , , . Используя синус-преобразование Фурье, покажите, что

            .

С помощью косинус-преобразования Фурье решите задачу о распределении температуры в полубесконечном стержне:

            ,   ,   ;   ,   ,

            .