Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


Глава 11.  применение метода подобия в задачах математической физики

Рассмотренные в предыдущих главах методы решения задач математической физики применимы только к таким процессам, которые описываются с достаточной точностью линейными дифференциальными уравнениями. Круг таких задач весьма ограничен. В большинстве важных практических задачах, возникающих в физике и особенно в прикладных, инженерных дисциплинах, для получения результатов на требуемом уровне точности необходимо учитывать множество различных факторов.

Прежде всего возрастает число физических параметров, которые  необходимо учитывать и которые оказывают заметное влияние на исследуемый процесс. Уже это усложняет исследование процесса и проведение численного моделирования. Кроме того, попытки линеаризации уравнений часто приводят к неприемлемо большим погрешностям, а зачастую и к неверным физическим выводам. Например, можно показать, что рассматриваемая в предыдущих главах задача о распространении тепла в бесконечном стержне, описываемая линейным уравнением (8.1), приводит к выводу, что тепло, возникающее от действия точечного источника, мгновенно достигает любой точки стержня, что неверно. Следовательно, для уточнения результатов решения задачи необходимо в уравнения вводить нелинейные члены, например, учитывать зависимость коэффициентов теплопроводности от температуры.

Рассмотрение более сложных задач по сравнению с теми, которые были изучены в этом курсе, сопряжено со значительными математическими трудностями. В настоящее время не существует общей теории решения нелинейных задач. В то же время разработаны различные методы, позволяющие упростить исследование физических процессов, а также провести предварительный качественный анализ и зачастую получить с вполне приемлемой точностью требуемые результаты.

Большинство этих методов основывается на сложном современном математическом аппарате (методы современной геометрии, алгебры и математического анализа, например теории непрерывных групп) и выходят далеко за рамки нашего курса. Поэтому рассмотрим один из широко распространенных и весьма эффективных методов, нашедших широкое применение во многих отраслях знания, и в то же время сравнительно простой метод подобия, основанный на анализе размерностей физических величин задачи. В математике этот метод обосновывается в так называемой теории размерностей.