Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


11.1. математические основы

метода подобия

Любой реальный процесс описывается некоторым конечным набором физических величин, например силой, плотностью, скоростью и т.д. Обозначим этот набор величин . Эти величины выражаются через некоторые независимые фундаментальные физические величины, такие как длина, время, масса, заряд и т.д. Пусть  обозначают эти величины. Так как выбор численных значений фундаментальных величин произволен (определяется некоторыми соглашениями, эталонами), существуют масштабные множители  – положительные действительные числа, с помощью которых осуществляется преобразование эталонных

            ,

а следовательно, измеряемых физических величин

           

исследуемого процесса, где показатели степени , , , определяются физической зависимостью величины  от фундаментальных единиц .

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть некоторый физический процесс описывается такими независимыми величинами, как скорость  движения тела и плотность  жидкости. Размерность скорости – отношение длины  ко времени , а размерность плотности – отношение массы  к объему, т.е. к кубу длины. Тогда

            ,    .

Если некоторая величина остается неизменной при данных преобразованиях, то она называется безразмерной.

Вообще говоря, между физическими величинами в любом реальном процессе возникают некоторые функциональные соотношения вида

            .

Например, для поверхностных волн в глубокой воде скорость  является функцией от длины волны  и гравитационной постоянной ускорения . Такое соотношение называется масштабно инвариантным, если оно не меняется при изменении масштабов измерения основных величин. Оказывается, существует возможность выразить всякое такое соотношение только через безразмерные комбинации физических величин. Например, в рассмотренном примере, если  – коэффициенты преобразования длины и времени, соответственно, то

            .

Единственная безразмерная величина здесь – это число Фруда  или его степень. Таким образом, всякое масштабно-инвариантное соотношение, определяющее скорость волны как функцию от длины волны и гравитационного ускорения, должно иметь вид , где постоянную  определяют из эксперимента.

Рассмотренный пример сравнительно легкий для того, чтобы простым подбором без привлечения специального математического аппарата установить ту безразмерную величину, которая определяет масштабно-инвариантное соотношение задачи. В более сложных задачах при наличии большого числа физических величин, влияющих на результат, установлению такого соотношения помогает метод подобия, в основе которого лежит так называемая -теорема. Эта теорема – основа теории размерностей математического аппарата метода подобия. Приведем ее полную формулировку.

-теорема.  Пусть  – фундаментальные физические величины, масштабы измерений которых меняются независимо: . Пусть  – производные величины, изменяющиеся в соответствии с формулой

            ,   (11.1)

где  – матрица размера , элементы которой – константы. Пусть – ранг матрицы . Тогда существует  независимых безразмерных величин вида

            ,    ,           (11.2)

обладающих тем свойством, что всякая другая безразмерная величина может быть записана как функция от . Показатели степени  в (11.2) являются  линейно-независимыми решениями линейной системы алгебраических уравнений

                  (11.3)

Если  – произвольное масштабно инвариантное соотношение на данные производные величины, то существует эквивалентное соотношение, которое может быть выражено только через указанные безразмерные величины:

            .           (11.4)

Доказательство этой теоремы опирается на аппарат теории непрерывных групп и в наиболее полном виде имеется, например, в [10]. В упрощенной форме -теорема рассматривается в [11]. В последней книге приведено также большое количество задач из различных областей науки и техники с использованием метода подобия, основанного на этой теореме.