Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


11.2. практика использования

метода подобия

Во многих задачах прикладного характера для своего решения требуется учитывать большое число физических величин. Метод подобия, прежде всего, позволяет выделить безразмерные параметры, которые независимо влияют на исследуемый процесс. Такой подход позволяет упростить не только качественное исследование, но и численное моделирование задачи. Есть много примеров в истории науки, когда анализ безразмерных критериев помогал находить решение сложных задач, не прибегая напрямую к решению дифференциальных уравнений.

Рассмотрим несколько примеров, поясняющих методику определения безразмерных параметров.

 

П р и м е р  11.1.  Предположим, что сопротивление   тела, помещенного в жидкость, определяется плотностью  жидкости, скоростью  движения тела, его диаметром  и вязкостью  жидкости. Обозначим

            .

Учитывая размерности:  – длинамасса/время2,  – масса/длина3,  – длина/время,  – масса/длинавремя – вводим независимые фундаментальные величины задачи, такие как длина, время и масса. Обозначим масштабные коэффициенты длины , времени  и массы . Тогда получим изменение физических величин (11.1)

            .

Составляем матрицу

            .

Находим ранг этой матрицы

            ,

т.е. .

Таким образом, задача определяется 5 – 3 = 2 независимыми безразмерными параметрами. Чтобы составить их, выписываем систему уравнений (11.3)

           

и находим два ее частных решения. Первому частному решению   соответствует безразмерный параметр

            , (11.5)

а второму частному решению  – безразмерный параметр

            .         (11.6)

Безразмерный параметр (11.5) в гидродинамике называется числом Рейнольдса. Масштабно-инвариантное соотношение (11.4) между пятью физическими величинами рассматриваемой задачи имеет вид . Разрешая его относительно параметра , запишем

                и    .   (11.7)

Получить функцию  из теории подобия невозможно. Ее находят либо теоретически из решения  уравнений гидродинамики, либо из эксперимента.

П р и м е р  11.2.  Усложним задачу примера 1 и учтем влияние силы тяжести на движение тела. Для этого дополним пять физических величин примера 1 шестой величиной: ускорением силы тяжести . Фундаментальные величины сохраняются прежними и поэтому

            .

Матрица  приобретает вид

            .

Ее ранг равен также трем, и поэтому число независимых параметров становится равным 6 – 3 = 3. Составляем систему уравнений (11.3)

           

и находим три ее частных решения. Два из этих решений при  совпадают с решениями примера 11.1 и приводят к построению параметров (11.5) и (11.6); третье решение   позволяет написать еще один безразмерный параметр

            ,

который в гидродинамике называется числом Фруда. Из масштабно-инвариантного соотношения , как и в предыдущем примере, определяем силу сопротивления .

Приведенные примеры позволяют сделать ряд теоретических выводов, не прибегая к решению уравнений. В частности, становится очевидным, что сила сопротивления жидкости определяется прежде всего величиной числа Рейнольдса, играющего важную роль в гидродинамики. Это число пропорционально скорости движения тела и обратно пропорционально вязкости жидкости. Это означает, что его величина не изменяется, если жидкость заменить более вязкой и при этом пропорционально увеличить скорость движения тела. А это значит, что при больших скоростях роль вязкости становится несущественной. Таким образом, мы видим, что введение безразмерных параметров может приносить большую пользу при постановке экспериментов, позволяя выбирать удобные условия опытов и ограничивать их количество. Изменение одних величин можно заменить в опытах изменением других величин.

Метод подобия находит и другое применение, когда необходимо провести качественный анализ и решить уравнения, описывающие исследуемую задачу. Рассмотрим простой пример.

 

П р и м е р  11.3.  Пусть необходимо решить уравнение теплопроводности

            ,     ,     ,    (11.8)

с начальным условием

                (11.9)

Такая задача может быть решена преобразованием Фурье, рассмотренным в главе 8. Решим ее методом подобия. В задаче можно выделить пять физических величин: пространственную координату , время , коэффициент температуропроводности  (с размерностью длина2/время), функцию температуры  и начальную температуру . Имеем следующие фундаментальные величины: длина , время  и температура . Тогда

            ,

а ранг матрицы

           

равен 3. Частное решение системы уравнений

           

равно , что приводит к следующим двум безразмерным величинам: переменной  и функции .

Таким образом, вместо двух независимых переменных  и  мы получили одну переменную , и поэтому неизвестная функция зависит только от одного аргумента . Вычисляя производные для

            ,

и подставляя в (11.8), (11.9), получаем

              (11.10)

и дополнительные условия

            , ,   (11.11)

соответствующие начальному условию (11.9). В результате задача с уравнением в частных производных (11.8), (11.9) свелась к задаче с обыкновенным дифференциальным уравнением (11.10) и краевым условием (11.11). Интегрируя это уравнения, учитывая дополнительные условия и возвращаясь к размерным величинам, находим решение в виде

            .

Полученное решение, как и следовало ожидать, совпадает с найденным в главе 8 (формула (8.15)) с помощью преобразования Фурье.

Задачи

Рассмотрите задачу, сформулированную в примере 11.1 при дополнительном условии: тело, погруженное в жидкость, колеблется в ней с периодом колебания, равным . Покажите, что сила сопротивления в этом случае будет определяться формулой , где  называется числом Струхаля.

Движение нагретого тела  в стационарной конвективной  жидкости определяется пятью физическими величинами:  – размером тела,  – скоростью движения,  – разностью температур (с размерностью градус),  – вязкостью жидкости и  – температуропроводностью (с размерностью обеих последних величин длина2/время). Докажите, что такое движение можно описать двумя безразмерными параметрами: числом Рейнольдса  и числом Прандля .

 В дополнение к условию задачи 2 учтите еще коэффициент теплопередачи  между телом и жидкостью, где  – плотность потока тепла через поверхность тела. Покажите, что масштабно-инвариантное соотношение (11.4) связывает между собой три безразмерных параметра: число Рейнольдса , число Прандля  и число Нуссельта , где  – коэффициент теплопроводности.