Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


Г л а в а  1.  понятие о краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений. задача штурма–лиувилля

Из курса математического анализа известно, что для нахождения частного решения некоторого дифференциального уравнения n-го порядка

               (1.1)

требуется задать n начальных условий

            , …, .

Подпись:  

Это так называемая задача Коши. Заметим, что все эти начальные условия задаются в одной точке . В приложениях часто возникают задачи, когда дополнительные условия задаются в двух точках, обычно на концах того промежутка, на котором производится интегрирование уравнения. Такого рода условия называются граничными или краевыми. Их число должно равняться порядку уравнения (1.1). Например, в задаче о движении материальной точки массы  под действием внешней силы  часто требуется найти закон движения, если в начальный момент  точка находилась в положении , а в момент  должна попасть в точку . Задача сводится к интегрированию уравнения  с краевыми условиями , . Эта задача имеет неоднозначное решение (см. рисунок).

Если удается найти общее решение дифференциального уравнения краевой задачи, то для получения частного решения задачи надо определить произвольные постоянные из граничных условий. При этом далеко не всегда существует действительное решение, а если существует, то оно не обязательно единственное.

В качестве примера возникающих здесь возможностей рассмотрим следующую краевую задачу. Найти решение уравнения

            ,   (1.2)

удовлетворяющее условиям , . Общее решение уравнения (1.2) имеет вид

            .          (1.3)

Учитывая первое граничное условие, получим  и . Если , , то из второго граничного условия находим . Следовательно, в этом случае существует единственное решение краевой задачи . Если же  и , то все семейство кривых  является решением краевой задачи. При ,  решений краевой задачи не существует, так как ни одна кривая семейства  не проходит через точку .

Рассмотрим общую схему решения краевой задачи для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями. Пусть имеется уравнение вида

            , (1.4)

где ,  и  – функции, непрерывные на конечном отрезке ,  числовой параметр. Пусть на концах отрезка заданы краевые условия

            ,    ,           (1.5)

где  – коэффициенты. Пусть известны линейно независимые решения уравнения (1.4). Они зависят не только от переменной , но и от того, какое значение имеет параметр . Обозначим эти решения  и . Тогда общее решение уравнения (1.4) имеет вид

            .          (1.6)

Для простоты рассмотрим частный случай краевых условий (1.5)

            ,   .    (1.7)

Решение (1.6) при условиях (1.7) приводит к однородной линейной системе алгебраических уравнений относительно  и :

                 (1.8)

Эта система имеет нулевое решение  и , которому соответствует нулевое решение  задачи (1.4), (1.7). Если значение параметра  таково, что система (1.8) имеет только нулевое решение, то и задача (1.4), (1.7) имеет только нулевое решение. Такое решение называется тривиальным. Если же  удовлетворяет уравнению

            ,            (1.9)

то система (1.8), а следовательно, и задача (1.4), (1.7) имеют решение, отличное от нулевого. Других решений при заданном значении  задача не имеет, так как все решения, имеющие корень , линейно зависимы.

Итак, если  не является корнем уравнения (1.9), то задача (1.4), (1.7) не имеет решений, отличных от нулевого. Если же  – корень уравнения (1.9), то задача (1.4), (1.7) имеет решение , отличное от нулевого, и это решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично решается общая задача с краевыми условиями (1.5).

Задача (1.4), (1.5): найти значения , при которых уравнение (1.4) на конечном отрезке  с краевыми условиями (1.5) имеет ненулевое решение, называется задачей Штурма – Лиувилля. Те значения , при которых задача (1.4), (1.5) имеет решение , отличное от тривиального, называются собственными значениями этой задачи, а решения  – собственными функциями задачи, соответствующими данному собственному значению.

 

Пример 1.  Рассмотрим задачу , ,

            ,    .   (1.10)

Пусть . Обозначим . Тогда общее решение уравнения будет . Из первого краевого условия следует , а из второго – . Отсюда находим нетривиальное решение , что равносильно . Но это противоречит принятому условию .

Пусть . Тогда общее решение уравнения имеет вид . Из краевых условий получаем , т.е. тривиальное решение.

Поэтому будем рассматривать лишь положительные собственные значения . В этом случае удобно записывать уравнение в виде (1.2). В общее решение (1.3) подставляем краевые условия (1.10) и получаем систему уравнений

           

Из первого уравнения следует . При этом второе уравнение дает . Постоянная  не может равняться нулю, так как при  получаем нулевое решение . Следовательно, для нахождения  получаем уравнение . Отсюда , . Таким образом, мы получаем бесконечное множество собственных значений и соответствующих собственных функций:  и , , где  – произвольные постоянные.

Замечание. Если в уравнении (1.4) функция  обращается в нуль на одном из концов отрезка , например , то соответствующее этому концу краевое условие в (1.5) заменяется условием ограниченности решения  на этом конце.

Сформулируем теперь общие свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма – Лиувилля (1.4), (1.5). Доказательство этих и других свойств можно найти, например, в [1].

1. Существует бесчисленное множество собственных значений , которым соответствуют собственные функции

2. При  все собственные значения неотрицательные .

3. Собственные функции  и , соответствующие разным собственным значениям  и , ортогональны между собой с весом , т.е.

            ,    .

4. Справедлива теорема разложения В.А. Стеклова: функция , дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая условиям (1.5), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям

            ,    ,     (1.11)

если  имеет при  непрерывную первую и кусочно-непрерывную вторую производные, удовлетворяет граничным условиям задачи; при этом, если , то  при  и  при .

Подобная задача Штурма–Лиувилля обобщается и на случай многомерного уравнения.

Рассмотрим теперь неоднородную задачу. Заметим, что задача может быть неоднородной вследствие дифференциального уравнения или вследствие краевых условий. Метод преобразования неоднородных граничных условий в однородные будет приведен в главе 6. Поэтому рассмотрим неоднородное уравнение

                (1.12)

в области , где , а  подчиняется однородным граничным условиям (1.5),  – заданная постоянная. Решаем задачу Штурма–Лиувилля (1.4), (1.5) для однородной задачи:

,   ,

и находим собственные значения и собственные функции оператора . Затем разложим  и  по собственным функциям оператора

            ,               (1.13)

и подставим в (1.12):

            .

Так как собственные функции  линейно независимы, , или, используя (1.11), это равенство можно записать как

            ,

где  рассматриваются как нормированные функции. Поэтому

            .    (1.14)

Это выражение можно записать по-другому

            ,           (1.15)

где  называется функцией Грина и определяется соотношением

            .        (1.16)

Вид функции Грина зависит от дифференциального оператора , области  и краевых условий. Из (1.16) видно, что функция Грина не определена при . Это значит, что если , то не существует решения уравнения (1.12), если при этом его правая часть не подчиняется условию

            .

Для выяснения физического смысла функции Грина введем

-функцию , определяемую следующим образом:

           

Отсюда следует основное свойство -функции:

            , .

Пусть теперь в (1.12) . Тогда приходим к решению

            ,

которое показывает, что функция Грина является решением уравнения

            .

Принимая во внимание определение и свойство -функции, это означает, что функция Грина определяет отклик в точке  на единичное точечное возмущение в . Более подробно этот вопрос рассматривается в главе 8.

Таким образом, знание функции Грина (1.16) позволяет записать решение (1.15) неоднородного уравнения (1.12). Нахождение функции Грина поясним на примере.

Пример 2.  Рассмотрим задачу , , ,  и определим функцию Грина. Пусть . Тогда . Собственные значения задачи найдены в примере 1 и  равны , нормированные собственные функции . Следовательно, из (1.16) получаем

            .

Задачи

1. Решите следующие краевые задачи:

.

.

.

.

2. Решите следующие задачи Штурма–Лиувилля:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

, , , , . Указание: введите замену независимой переменной .

, , ,  ограничена. Указание: сделайте замену переменной .

3. Напишите функцию Грина и решение неоднородного уравнения для краевых задач 2.2, 2.4 и 2.10.