Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1322


Г л а в а  2.  уравнения в частных производных. общие вопросы

Дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция многих переменных содержится под знаком частных производных, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется наивысший порядок частной производной от неизвестной функции, содержащейся в уравнении.

 

Примеры дифференциальных уравнений в частных производных: первого порядка ; второго порядка  (уравнение теплопроводности).

Как известно, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка представляет собой искомую функцию от независимой переменной, содержащую, кроме того, еще и  произвольных постоянных. У дифференциальных уравнений в частных производных дело обстоит сложнее. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных -го порядка зависит от  произвольных функций, каждая из которых является функцией от -й независимой переменной. Например, рассмотрим решение такого простого уравнения  . Интегрируем его по переменной . Получим , а затем – по переменной   , где  и  – произвольные функции одного аргумента. Если этим произвольным функциям поставить в соответствие конкретные выражения, то получим частное решение дифференциального уравнения. Например,  будет частным решением рассмотренного уравнения.

Основная часть этого курса посвящена линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка с действительными коэффициентами. Наиболее общий вид их такой

            ,        (2.1)

где  и – в общем случае являются известными функциями переменных . Если , то уравнение (2.1) называется однородным. В противном случае оно называется неоднородным уравнением. Нетрудно доказать основное свойство линейных уравнений: если какие-либо  функций , , являются решениями уравнения (2.1), то и функция

            ,           (2.2)

где  – произвольные постоянные, также является решением уравнения (2.1). Это свойство называется свойством линейности и легко проверяется непосредственной подстановкой (2.2) в уравнение (2.1).

Если в (2.1) коэффициенты  постоянные, то существует три типа таких уравнений: гиперболический тип, параболический тип и эллиптический тип. Подробности классификаций уравнений (2.1) можно найти в более полных курсах по математической физике, например в [1–5].

Задачи

Дано уравнение с постоянными коэффициентами

           

С помощью замены функции  и выбора соответствующих значений параметров  и  сведите это уравнение к уравнению вида

            .

Найдите выражение для коэффициентов ,  и .

Дано уравнение параболического типа с постоянными коэффициентами

           

С помощью замены функции  и выбора соответствующих зна-чений параметров  и  сведите это уравнение к уравнению вида . Найдите выражение для коэффициентов  и .

Докажите, что функция  является решением уравнения .

Дана функция . Исключив произвольные постоянные, получите уравнение в частных производных первого порядка, решением которого является эта функция. Указание: найдите  и , из которых затем исключите произвольные постоянные.

Дана функция , где  – произвольная функция. Исключив , получите уравнение в частных производных первого порядка, решением которого является функция . (См. указание к предыдущей задаче).

Докажите, что функция , где  и  – произвольные функции, ,  и  постоянные,  – мнимая единица, является решением уравнения .

Покажите, что уравнение  имеет решение вида , где ,  – постоянные.