Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


3.1. простейшие задачи, приводящие

к волновому уравнению

Уравнение малых поперечных колебаний струны. Описание процесса колебания струны может быть проведено при помощи задания положения точек струны в различные моменты времени.  Предположим, что струна  имеет длину  и натянута между двумя точками  и  оси  (рис. 3.1). Мы принимаем следующие предположения.

Движение точек струны происходит только в одной плоскости и в этой плоскости каждая точка движется в направлении, перпендикулярном к равновесному положению струны. Смещение точек струны от положения равновесия описывается функцией .

Струна рассматривается как гибкая упругая нить. Математически это означает, что силы напряжения , возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю (рис. 3.2).

Величина силы натяжения  подчиняется закону Гука, т.е. относительное удлинение участка  струны связано с силой натяжения соотношением , где  – модуль Юнга материала струны.

Смещения точек струны малы, и можно пренебречь квадратом  по сравнению с единицей.

Сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с натяжением .

   

 

Рис. 3.1          Рис. 3.2

 

Рассмотрим участок струны, который в равновесии был расположен между точками  и . В результате деформации при смещении этого участка его длина станет равной . Здесь было учтено второе и четвертое предположение.

Таким образом, при смещении точек струны не происходит изменения ее длины, а следовательно, по закону Гука (третье предположение) сила  не зависит от времени. Это же обстоятельство позволяет считать натяжение  не зависящим от координаты . Действительно, проектируя силы на ось , учитывая допущение 1 и то, что силы инерции и внешние силы направлены вдоль оси  (т. е. их проекция на ось  равна нулю), получим

            .        (3.1)

Но так как , то , и поэтому из (3.1) следует независимость  от .

Рассмотрим теперь силы, действующие вдоль оси . На выделенном участке действуют в противоположных направлениях силы напряжения

            ,

            ,

где  – площадь поперечного сечения струны и внешняя сила, которую будем считать непрерывно распределенной с плотностью , рассчитанной на единицу длины. Результирующая сила, действующая на выделенном участке струны в течение времени от  до , равна

            .

Эта сила, согласноо второму закону Ньютона, равна изменению импульса участка за время от  до :

            ,

Здесь  – плотность материала струны. Приравниваем эти силы и получаем уравнение поперечных колебаний струны в интегральной форме

           

            .

Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от функции . Пусть сечение струны постоянно вдоль ее длины. Тогда, сокращая на  и применяя в первом и третьем интеграле сначала формулу Лагранжа, а затем теорему о среднем, а во втором интеграле – дважды теорему о среднем, получим

            ,

где , а . Сократив на  и переходя к пределу , получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны . В случае постоянной плотности  получим общепринятую форму уравнения

            ,     (3.2)

где  – плотность внешней силы, отнесенной к единице массы;  – постоянная, имеющая размерность скорости.

Уравнение продольных колебаний стержня. В качестве второго примера рассмотрим продольные волны сжатия-растяжения в стержне. Пусть стержень расположен на отрезке  оси . Введем функцию , описывающую в момент времени  смещение точки, имеющей в положении равновесия координату . При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль оси стержня (рис. 3.3).

 

Рис. 3.3. Продольные волны сжатия-растяжения

в стержне

 

Пусть две точки стержня в положении равновесия имели координаты  и . В результате деформации стержня эти точки займут в момент времени  положение с координатами  и . Относительное удлинение рассматриваемого участка стержня равно

            ,    .

Здесь была применена формула Лагранжа. При  запишем , и по закону Гука сила натяжения  связана с деформацией соотношением , где  – модуль Юнга в точке  . Согласно второму закону Ньютона изменение импульса участка  стержня равно сумме сил, действующих на этот участок. По аналогии с предыдущим примером получим уравнение колебания в интегральной форме

           

В предположении существования и непрерывности вторых производных функции  применим дважды теорему о среднем (как в предыдущем примере). В результате предельного перехода  приходим к дифференциальному уравнению продольных колебаний стержня . Для однородного стержня  получаем уравнение (4.2), где теперь .

Уравнение звуковых волн в газе. В качестве третьего примера рассмотрим малые колебания плотности в газовой среде. Эти колебания представляют собой звуковые волны. Для вывода уравнения колебания в газе используем уравнения гидродинамики:

уравнение непрерывности

            ;         (3.3)

уравнение Эйлера

            ,     (3.4)

где ,  и  – плотность, давление и скорость течения газа в точке  в момент времени . Примем следующие допущения:

внешние силы отсутствуют;

колебания газа малы, т.е. малы скорость течения газа и отклонение плотности и давления от их равновесных значений  и . Это означает, что можно пренебречь квадратами скоростей, градиентов скорости и изменения плотности.

Пусть  и , где  и  – малые отклонения плотности и давления. Подставляя эти соотношения в (3.3) и (3.4) и пренебрегая членами второго порядка малости, получим линеаризованную систему уравнений

            ,    .

Применяя операцию взятия дивергенции ко второму уравнению и исключая  с помощью первого уравнения, получим . Учтем уравнение состояния газа, связывающее плотность и давление: , Обозначим ,  и перепишем уравнение в виде

              (3.5)

(с принятой точностью величина  должна быть постоянной). В развернутом виде уравнение (3.5) принимает следующий вид:

            .            (3.6)