Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


3.2. простейшие задачи, приводящие

к уравнению теплопроводности (диффузии)

Задача о распространении тепла. Рассмотрим однородный стержень длины  , теплоизолированный с боковой поверхности и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Распределение температуры  в стержне будем описывать функцией , представляющей температуру в сечении  в момент времени . Сформулируем физические законы, определяющие процессы распространения тепла.

Закон Фурье. Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Количество тепла, протекающего через сечение  за промежуток времени , равно

            , (3.8)

где

                (3.9)

q – плотность теплового потока, равная количеству тепла, протекающего в единицу времени через единичную площадь,  – коэффициент теплопроводности. Величина теплового потока считается положительной,если тепло течет в сторону возрастания .

Количество тепла, которое необходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на , равно

            ,            (3.10)

где  – удельная теплоемкость,  – плотность тела.

Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении электрического тока, или вследствие химических реакций). Выделение тепла описывается функцией плотности тепловых источников . В результате этого на участке  за время  выделится количество тепла, которое можно представить формулой

            .       (3.11)

Применяя закон сохранения энергии для участка  за промежуток времени , из формул (3.8)–(3.11) находим уравнение теплопроводности в интегральной форме

           

            .

Чтобы получить уравнение в дифференциальной форме, предположим, что функция  имеет непрерывные производные  и . Применяя теорему о среднем, получим равенство

            ,

которое при помощи формулы Лагранжа можно преобразовать к виду

            ,

где . В пределе   получим

            .     (3.12)

Это уравнение называется уравнением теплопроводности.

Если коэффициенты  постоянные, то уравнение записывают в виде

            ,     (3.13)

где  и  называется коэффициентом температуропроводности. В случае теплообмена с окружающей средой, подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемое стержнем на единицу длины в единицу времени, равно , где  – температура окружающей среды,  – коэффициент теплообмена. Тогда плотность тепловых источников равна , где  – плотность других источников. Наличие теплообмена с окружающей средой приводит к следующему уравнению теплопроводности:

            ,         (3.14)

где , .

Задача о диффузии. Если среда неравномерно заполнена газом, то возникает диффузия его из мест с более высокой концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это же явление возникает и в растворах, содержащих неравномерную концентрацию растворенного вещества в объеме растворителя.

Пусть в тонкой трубке содержится газ, концентрация которого вдоль оси  трубки в момент времени  описывается функцией . Согласно закону Нернста масса газа, протекающего через сечение  за промежуток времени , равна

            ,          (3.15)

где  – коэффициент диффузии;  – площадь сечения трубки. По определению концентрации количество газа в объеме  равно . Отсюда получаем, что изменение массы газа в объеме  на участке трубки  при изменении концентрации на  равно

            ,

где  – коэффициент пористости.

Составляем уравнение баланса массы газа на участке  за промежуток времени :

           

           

Отсюда, как и в предыдущих пунктах, получим уравнение

            ,        (3.16)

которое называется уравнением диффузии. Оно аналогично уравнению теплопроводности, При выводе этого уравнения предполагалось отсутствие источников вещества и диффузии через стенки трубки. В противном случае в уравнении (3.16) появилось бы дополнительное слагаемое, аналогичное тому, какое имеется в уравнениях (3.12), (3.13). Если коэффициент диффузии постоянен, то уравнение принимает вид , где .

Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова. Получим уравнение, которому удовлетворяет функция плотности вероятности  некоторой случайной величины . Из теории вероятности известно, что функция  нормирована

            .

Пусть в некоторый момент  система находится в состоянии  и  – вероятность перехода из состояния  в момент времени  в состояние  в момент времени  (условная вероятность того, что система окажется в состоянии  в момент времени , если она в момент времени  находилась в состоянии ). Предполагаем, что переменная  изменяется в ходе Марковского процесса. Тогда, применяя формулу полной вероятности, получим уравнение

            .       (3.17)

Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по степеням

           

                (3.18)

Подставляя (3.18) в (3.17), учитывая нормировку вероятности перехода

           

и предполагая, что все моменты порядка третьего и выше обращаются в нуль, т.е. , получим

  ,       (3.19)

где

            .      (3.20)

К левой части уравнения (3.19) применяем формулу Лагранжа. Предполагая существование конечных пределов

            ,           (3.21)

и дифференцируемость два раза функций, входящих в уравнение, окончательно приходим к следующему уравнению:

            .          (3.22)

Это уравнение называется уравнением Фоккера–Планка–Колмогорова, оно и описывает такие процессы, как броуновское движение, некоторые химические реакции, столкновения и рассеяния частиц и многие другие физические явления со случайными исходами. Величины  и , входящие в уравнение (3.22), имеют физический смысл, который следует из их определения (3.20) и (3.21): величина  – это средняя скорость перехода системы из одного состояния в другое, а  – средний квадрат «разброса» системы от исходного состояния и поэтому называется диффузией.