Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1321


3.3. простейшие задачи, приводящие

к уравнениям Лапласа и Пуассона

При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа

            .          (3.23)

При наличии источников внешней энергии с мощностью  получаем неоднородное уравнение Лапласа

            ,       (3.24)

которое называют уравнением Пуассона.

 

Функция  называется гармонической в области , если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

 

Задачи, которые приводят к уравнениям Лапласа или Пуассона, возникают из раннее рассмотренных задач как предельные после завершения переходных процессов, например, стационарное распределение температуры в теле при . Уравнение Лапласа также описывает распределение потенциала гравитационного и электростатического полей. Рассмотрим еще один пример – потенциальное течение жидкости. Пусть внутри некоторого объема  имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости с плотностью  и скоростью . Если течение не вихревое, то скорость  является потенциальным вектором, т.е.

            ,     (3.25)

где  – скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то . Подставляя сюда выражение (3.25), получим  или , т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.