Название: статические методы управления качеством в производстве электронных средств(Кушнир В.И.)

Жанр: Информатика

Просмотров: 764


Введение

Задача обеспечения качества приобретает в настоящее время  все большее значение: в условиях конкурентной борьбы именно качество обеспечивает жизнеспособность предприятия. В понятие качества  включают качество всех процессов, выполняемых на предприятии – начиная от целей, которые ставит перед собой руководство (качество цели), и заканчивая организацией конкретных производственных процессов (качество исполнения). Учитывая всеобъемлющий характер вопросов управления качеством, можно предположить, что происходит формирование принципиально новой философии управления производством, в основе которой лежит критерий качества.

Методической основой обеспечения качества являются стандарты международной организации по стандартизации ISO (International Standard Organization). Новейшая редакция этих стандартов в России – ГОСТ Р ИСО 9000-2001, ГОСТ Р ИСО 9001-2001 и ГОСТ Р ИСО 9004-2001. В соответствии с требованиями данных стандартов на предприятии должна быть создана система качества, регламентирующая выполнение всех действий согласно последним достижениям в области управления процессами. Система качества представляет собой совокупность задач, которые решаются на разных этапах производства, и методов (инструментов) их реализации. Основными являются методы математической статистики, что связано со статистической природой информации, порождаемой в производственных процессах. Действительно, даже при строгом соблюдении технологии на производственный процесс влияет множество случайных факторов, которые не позволяют получить желаемый детерминированный показатель качества. Это приводит к необходимости анализировать ситуацию в среднем, с вероятностной оценкой ожидаемого значения показателя. Состав статистических методов регламентируется российскими стандартами группы ГОСТ Р ИСО 50779 и перечислен в отчете технического комитета Госстандарта ИСО/ТК 10017.

Исходной информацией для работы статистических процедур являются результаты измерения параметров производства, определяющих качество конечной продукции. Измерения производятся на различных этапах технологического цикла и консолидируются в соответствующих базах данных системы управления предприятием. До недавнего времени применение статистических методов сдерживалось низким уровнем автоматизации сбора и хранения информации о производственных процессах, но за последние годы в информационных технологиях произошел существенный сдвиг - в проектировании и управлении производством появился широкий спектр программных продуктов. Таким продуктом является, например, автоматизированная система технической подготовки и учета производства TechnologiCS, где данные об оборудовании и технологических процессах представлены в  форме, удобной для последующей обработки.

Цель настоящего учебного пособия  состоит в систематизированном изложении теоретических вопросов статистических методов  управления качеством, что необходимо при выполнении  дипломных, курсовых и расчетно - графических работ для студентов, обучающихся по направлению 551100 «Проектирование и технология электронных средств»

Основные понятия теории вероятностей, используемые в задачах управления качеством

Событие. Вероятность события

Математическими основами статистических методов управления качеством являются положения теории вероятностей. Напомним основные понятия этой теории, необходимые  для дальнейшего изложения [1,2].

Событие - некоторый результат, который достигается при проведении  испытания (опыта). Например, выпадание решетки при подбрасывании монеты. Если событие происходит обязательно, оно называется достоверным. Если  не может произойти - невозможным. Если  может произойти, а может и не произойти – случайным. Числовой характеристикой возможности появления события является  вероятность события.

Введем следующие обозначения:

А – событие,  P(А) – вероятность события. Очевидно, что

 

      0£P(A)£1        (2.1)

 

и для достоверного события P(A)=1, а для невозможного P(A)=0.

Обозначим  – событие, которое состоит в том, что А в результате испытания не выполняется. Для этой ситуации справедливо соотношение

 

      .      (2.2)

 

Обозначим одновременное наступление n событий

 

                (2.3)

 

и назовем это сложное событие пересечением n простых событий A.

Обозначим также наступление хотя бы одного из n событий

 

      (2.4)

 

и назовем это сложное событие объединением  n простых событий A [0].

Вероятности введенных выше сложных событий вычисляются  следующим образом.

 

      .        (2.5)

 

Здесь P(A2/A1), P(A3/A1,A2) и т.д. – условные вероятности по отношению к обозначенным за косой чертой событиям.

Если в последнем соотношении все события независимы, оно принимает вид

 

      .     (2.6)

 

Вероятность объединения случайных событий рассчитывается по формуле

 

      .   (2.7)

 

Для независимых событий последнее соотношение принимает вид

 

      .   (2.8)

 

Непрерывные и дискретные случайные величины. Числовые характеристики  случайных величин

 

Непрерывной случайной величиной (СВ) называется величина, которая при испытании может принять любое значение из заданного диапазона. В этом диапазоне зададим бесконечно малый интервал значений  [x, x+dx] и обозначим  dP вероятность попадания СВ в этот интервал.

Введем  понятие дифференциальной функции распределения w(x) через  вероятность dP с помощью  соотношения

 

      .   (2.9)

 

Введем также понятие интегральной функции распределения

 

      .     (2.10)

 

Физический смысл этого соотношения означает вероятность попадания СВ в диапазон значений от - до x. Впредь (если это не будет оговорено дополнительно),  употребляя термин распределение  СВ, будем иметь в виду дифференциальную функцию распределения.

      Функция распределения СВ дает полное статистическое описание этой величины и позволяет определить ее числовые характеристики .  Наиболее существенными из  них являются следующие.

      Среднее значение (математическое ожидание, первый начальный момент) непрерывной СВ вычисляется по формуле

 

      .         (2.11)

 

Здесь символ  обозначает операцию усреднения.

Дисперсия или второй центральный момент имеет  вид

 

      .         (2.12)

 

При этом величина

 

              (2.13)

 

носит специальное название – среднеквадратическое (стандартное) отклонение случайной величины от среднего значения. Для дисперсии случайной величины легко доказывается важная в дальнейшем формула [0]

 

      . (2.14)

 

Медианой называется значение , для которого выполняется соотношение

 

        .        (2.15)

 

В отличие от непрерывных  дискретные СВ могут принимать лишь избранные значения на числовой оси.  Примерами таких   величин  являются показания цифрового измерительного прибора или число бракованных изделий m при выборочном контроле партии  объемом n  изделий. Распределение дискретной СВ представляет собой линейчатую функцию.  Каждое значение этой функции является вероятностью того, что рассматриваемая СВ будет обладать конкретной величиной.  Аналог интегрального распределения  в случае дискретных СВ находится суммированием  дискретного распределения.

Среднее значение дискретной СВ вычисляется по формуле

 

      ,    (2.16)

 

где n – число состояний случайной величины. Дисперсия дискретной СВ вычисляется по формуле

 

      .   (2.17)

 

Здесь xi - значение случайной величины, Pi – вероятность того, что случайная величина примет значение xi.

Распределения вероятностей случайных величин

В качестве примеров распределений непрерывной случайной величины приведем следующие часто используемые в задачах управления качеством распределения, которые понадобятся нам для дальнейшей работы.

Нормальное (гауссовское) распределение имеет вид

 

      , . (2.18)

 

Здесь  - среднее,  - дисперсия распределения СВ.

На рисунке 0.1 приведен график дифференциального, а на рисунке 0.2 - интегрального гауссовского  распределений непрерывной СВ.

 

Рисунок 0.1 Дифференциальное гауссовское распределение

 

Рисунок 0.2   Интегральное гауссовское распределение

 

Равномерное  распределение на интервале [a,b] описывается соотношением

 

            (2.19)

 

Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно

 ,  .

Распределение  (хи – квадрат).  Если ,   - независимые нормально распределенные числа с нулевым  средним  и единичной дисперсией, то статистика (функция случайных величин)

 

           (2.20)

 

подчиняется распределению   с  k степенями свободы.

 

      . (2.21)

 

Здесь    - гамма функция. Математическое ожидание и дисперсия данного распределения имеют вид соответственно    .

Распределение Стьюдента (t - распределение).  Пусть z – нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть также v – независимая от z  СВ, имеющая   распределение  с k степенями свободы. Тогда СВ

 

               (2.22)

 

имеет t - распределение с k степенями свободы

 

      . (2.23)

 

Среднее значение и дисперсия равны соответственно  .

Распределение Фишера-Снедекора. Если u и v -  независимые СВ, распределенные по закону   со    степенями свободы    и    соответственно, то  СВ

 

             (2.24)

 

имеет  распределение  Фишера-Снедекора

 

      .      (2.25)

 

Здесь .,  среднее значение и дисперсия равны соответственно

,    .

Приведем  примеры распределений дискретной СВ,  используемые в задачах управления качеством.

Гипергеометрическое распределение, часто применяемое в задачах выборочного контроля,   имеет вид

 

      .    (2.26)

 

Здесь V -  объем контролируемой партии, N – число изделий в выборке,  k – число дефектных изделий в выборке, D – число дефектных изделий в партии,

 -  число сочетаний из D по k.

Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно

.

В случае N<<V гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным  распределением,  вычисляемым по формуле

 

      .        (2.27)

 

Здесь  -  вероятность дефекта, остальные обозначения соответствуют приведенным для гипергеометрического распределения.

Среднее значение и дисперсия для биномиального  распределения вычисляются соответственно по формулам

,    .

В случае, если число испытаний N  возрастает, а вероятность q уменьшается так, что Nq=const,  биномиальное распределение  стремится к  распределению Пуассона

 

      .       (2.28)

 

Здесь N – объем испытуемой выборки, k – число интересующих исследователя событий, происшедших в процессе испытаний,  - среднее  число событий в выборке (интенсивность потока событий). Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона имеют вид 

 

Генеральные совокупности и выборки. Гистограмма

Пусть выполняется n  измерений непрерывной СВ x. Например, из партии изготовленных на заводе резисторов по случайному закону отобраны n=100 резисторов и произведено измерение величин их электрического сопротивления. В результате этой процедуры получаем выборку СВ, первые 10 отсчетов которой представлены в таблице 0.1.

Таблица 0.1   Результаты первых 10 измерений сопротивлений резисторов

Порядковый номер измерения

Величина сопротивления (Ом)

1

99,1

2

96,2

3

100,7

4

103,8

5

103,6

6

105,2

7

93,4

8

99,3

9

103,3

10

98,1

Если выборка содержит все возможные результаты измерений, то эти результаты представляют собой генеральную совокупность. Отметим, что генеральная совокупность измерений может содержать как бесконечное число элементов (как в данном примере), так и конечное число элементов. Обычно выборка содержит малую часть генеральной совокупности  и поэтому  лишь приближенно характеризует свойства генеральной совокупности. Поскольку полной статистической  характеристикой СВ является ее распределение, для описания  выборки используется  аналог распределения для случая выборочных данных, который называется гистограммой. Для построения гистограммы выполним следующие действия.

Расположим числа в выборке в порядке возрастания их величин. В результате  получим ранжированный статистический ряд, фрагмент которого представлен в таблице 0.2.

Таблица 0.2  Фрагмент ранжированного ряда результатов измерений сопротивлений резисторов

Порядковый номер измерения

Величина сопротивления (Ом)

7

93,4

2

96,2

10

96,7

1

99,1

8

99,3

3

100,7

9

103,3

5

103,6

4

103,8

6

105,2

Определим максимальное и минимальное значения в ранжированном ряду и вычислим разницу этих значений. Затем поделим величину этой разницы (размаха) на число , округлив его до ближайшего целого значения. В результате получим длину одного интервала (кармана) .

Подсчитаем число  значений x, попавших в каждый интервал,  обозначим это число   и  поделим его на общее количество измерений n и на длину интервала . В результате получим величины высот столбцов .

Отложив по оси x  интервалы, а  по оси y высоты столбцов, получим гистограмму выборочных   данных. Эта гистограмма, построенная в системе Excel для гауссовских исходных данных, представлена на рис.0.3. Кроме гистограммы на рисунке 0.3 показан также график  кумулятивной кривой, представляющей собой сумму величин , отложенных по оси y и выраженную в процентах.  Очевидно, что гистограмма и кумулятивная кривая являются экспериментальными дифференциальным и интегральным распределениями, построенными по выборочным данным.

 

Рисунок 0.3  Гистограмма и кумулятивная кривая, построенные по выборочным данным, содержащим 100 отсчетов

Контрольные вопросы

Приведите примеры простых и сложных событий, наблюдаемых в производственных    процессах.

Как вычислить вероятность пересечения n зависимых событий?

Как вычислить вероятность объединения n независимых событий?

Чему равна вероятность того, что непрерывная случайная величина, заданная на  оси действительных чисел, попадет в точку на этой оси?

Как вычисляются среднее значение и дисперсия непрерывной случайной величины?

Как вычисляются среднее значение и дисперсия дискретной случайной величины?

Какой физический смысл имеет интеграл , где -  дифференциальное распределение непрерывной случайной величины?

Как соотносятся между собой среднее значение и медиана гауссовской случайной       величины?

Приведите примеры конечных и бесконечных генеральных совокупностей, наблюдаемых в производственных процессах.

Чему равно рекомендуемое число диапазонов (карманов), используемых для построения гистограммы по выборке из n  наблюдений случайной величины?

Оценки центра настройки и рассеяния  параметров технологических объектов

      Управление качеством  в производстве радиоэлектронных средств на оперативном уровне в конечном счете сводится к    измерению параметров  изделий  и оборудования, участвующих в технологическом процессе, и последующей обработке результатов этих измерений. В простейшем случае достаточно ответить на вопрос о соответствии или не соответствии центра настройки (математического ожидания) и рассеяния (дисперсии)  параметров объектов и оборудования, оцениваемым по выборочным данным,  заданным на них в технических условиях   значениям. Например, производится изготовление конденсаторов в массовом производстве и необходимо убедиться, что среднее значение  величины емкости соответствует среднему по техническим условиям  или в том, что рассеяние  величины емкости не превышает заданного значения. Задачи подобного рода  подробно рассмотрены в ГОСТ Р 50779.21-96  «Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Нормальное распределение».  В двадцати процедурах данного стандарта устанавливаются методы для оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, проверки гипотез относительно значений этих параметров, оценки вероятности попадания случайный величины в заданный интервал и т.д. Из всего многообразия задач, рассматриваемых в  ГОСТ Р 50779.21-96,  в данном разделе обсуждаются задачи оценок для наиболее простых производственных ситуаций.

Перед использованием процедур   стандарта ГОСТ Р 50779.21-96  необходимо убедиться в том, что  выборочные данные, с которыми работает пользователь, не содержат аномальных измерений (выбросов), а также  в том, что распределение  является нормальным. Проверка исходных данных на аномальность может быть выполнена  на основе стандарта СЭВ СТ СЭВ 545-77.  Проверка распределения на нормальность производится по результатам проверки гипотезы о  виде распределения. Рассмотрим  как решаются  эти две вспомогательные задачи.

Обнаружение аномальных измерений в исходных данных. Проверка гипотезы о виде распределения данных

В соответствии со стандартом СТ СЭВ 545-77 аномальным называется результат наблюдения, который по причинам случайного нарушения нормальных условий или грубых ошибок измерения резко отклоняется  от группы результатов наблюдений, которые называются нормальными. При этом следует иметь в виду, что резко отклоняющийся результат мог принадлежать той же генеральной совокупности, что и остальные результаты наблюдений, но вероятность его появления мала. В этом случае исключение такого результата приведет к ошибке расчетов. В стандарте СТ СЭВ 545-77 решение данной задачи рассмотрено в различных условиях наблюдения – при неизвестных генеральном среднем и дисперсии, при известном одном из этих параметров, при обоих известных параметрах. Из  этих вариантов обсудим простейший, когда среднее значение   и дисперсия  известны. Алгоритм принятия решения для этого случая выглядит следующим образом.

Производится упорядочение выборки в порядке возрастания результатов наблюдения

 

      .         (3.1)

 

Подсчитываются величины

 

      . (3.2)

 

 и  сравнивают со значением  h, взятым из таблицы для заданного уровня значимости . Пороговая константа h в таблице рассчитывается  исходя из вероятности  выхода за границу h хотя бы одного из отношений   или .

 

      .         (3.3)

 

Алгоритм расчета для случаев, когда неизвестны  значения   или    аналогичен приведенному выше и отличается лишь тем, что вместо известных значений среднего и дисперсии используются их оценки (см. п. 0) , а расчет пороговой константы h  производится  сложнее, чем это делается в соответствии с соотношением .  Данный расчет приведен в приложении к СТ СЭВ 545-77.

Проверка гипотезы о виде распределения исходных данных может быть произведена  по критерию Пирсона (он же называется критерий ). Суть этого критерия состоит в следующем. Ранжированный статистический ряд n результатов измерений анализируемой случайной величины разбивают на   интервалов и подсчитывают в каждом из этих интервалов число отсчетов mi, попавших в i-й интервал. В результате получают экспериментальный ряд частот

 

      .     (3.4)

 

Полагая гипотетическое интегральное распределение  известным, подсчитывают в этих же интервалах теоретические частоты

 

      .      (3.5)

 

Расчет теоретических частот для каждого i – го интервала производится по формулам

 

        .       (3.6)

 

Здесь и  соответственно верхняя и нижняя границы i- го интервала.

Далее рассчитывается мера расхождения теоретического и экспериментального распределений

 

      .   (3.7)

 

Данная мера имеет распределение с  степенями свободы ( , f – число параметров, полностью определяющих теоретическое распределение).

Гипотеза о том, что анализируемое экспериментальное распределение принадлежит предполагаемому теоретическому распределению принимается на заданном пользователем уровне значимости  (вероятность отвергнуть гипотезу, когда на самом деле ее следовало  принять), если выполняется неравенство

 

      .        (3.8)

 

Здесь  - критическое значение статистики , которое находится из уравнения

 

      ,    (3.9)

 

где - распределение.

Точечная оценка математического ожидания

Как уже было отмечено выше,  функция распределения дает полное статистическое описание   СВ.   Распределение СВ  характеризуется   числовыми характеристиками, важнейшими из которых являются среднее значение и дисперсия. Характеристики распределений генеральных совокупностей можно оценить по выборочным данным. Оценки принято характеризовать свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности [0].

Несмещенной является оценка, среднее значение которой совпадает со средним значением соответствующей характеристики генеральной совокупности. Т.е.

.

Здесь  - оценка,  - истинное значение характеристики,  – оператор усреднения.

Эффективной называется оценка, которая из всех несмещенных оценок имеет минимальную дисперсию.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится к истинному значению по вероятности, т.е.

 

.

 

Рассмотрим наиболее важные с точки зрения  практики управления качеством  оценки математического ожидания  и дисперсии для случая гауссовских выборочных данных  (ГОСТ Р 50779.21-96).

Точечная оценка математического ожидания определяется по формуле

 

      .   (3.10)

 

Поскольку значения  в этой формуле случайны и их число конечно, величина   также является случайной. Если -  гауссовские  независимые числа,  также является гауссовским случайным числом.  Покажем,  что среднее значение и дисперсия этого числа равны соответственно  (среднее генеральной совокупности) и  , где - дисперсия отдельного отсчета.

Действительно,

 

      .       (3.11)

 

Для нахождения дисперсии  найдем  дисперсию отдельных слагаемых в последнем соотношении

 

      .     (3.12)

 

Далее примем во внимание, что дисперсия суммы независимых слагаемых равна сумме дисперсий  этих слагаемых, т.е.

 

          (3.13)

 

Соотношения и  (3.13) показывают, что оценка является несмещенной и при  ее дисперсия стремится к нулю.

Точечная оценка дисперсии определяется по формуле [0]

 

      .   (3.14)

 

Здесь делитель (n-1) обеспечивает несмещенность оценки.

Интервальная оценка математического ожидания для случая известной  дисперсии

Точечная оценка не позволяет определить, с какой вероятностью полученная величина оценки соответствуют истинному значению характеристики генеральной совокупности. Чтобы ответить на этот вопрос вводят понятие интервальной оценки.

Пусть - истинное среднее генеральной совокупности,   - точечная оценка , полученная по формуле . Введем доверительный интервал

 

<\/a>") //-->