Название: Квантовая оптика. Квантовая механика - методические указания (Э.Б. Селиванова)

Жанр: Технические

Просмотров: 1154


17.2. примеры решения задач

 

Задача 17.2.1. Электрон, движущийся со скоростью , попадает в продольное ускоряющее однородное электрическое поле напряженностью .

Какое расстояние должен пролететь электрон в таком электрическом поле, чтобы его длина волны стала 1 Å?

 

Решение

 

Работа ускоряющего поля идет на приращение кинетической энергии электрона.

.           (17.6)

Длина волны де Бройля электрона

.

Конечная скорость электрона

.                 (17.7)

Расстояние, которое должен пролететь электрон, найдем, подставляя в (17.6) формулу (17.7)

;

Задача 17.2.2. Определите де бройлевскую длину волны

протона, кинетическая энергия которого равна энергии покоя

электрона.

 

Решение

 

Кинетическая энергия протона

.

 

Длина волны де Бройля

Å.

Задача 17.2.3. В опыте Дэвиссона и Джермера по отражению электронов от монокристалла  максимум четвертого порядка наблюдался в направлении, составляющем угол ; с направлением падающих электронов, обладающих энергией . Вычислите межплоскостное расстояние d, соответствующее данному отражению.

 

Решение

 

Подпись:  
Рис. 17.1
Представим кристалл в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей, отстоя-щих друг от друга на расстоянии d (рис. 17.1). Поток электронов падает под углом скольжения q (угол между направлением падающих электронов и кристаллографической плоскостью). Атомы кристаллической решетки становятся источниками когерентных вторичных волн  и , интерферирующих между собой. Максимумы интенсивности (дифракционные максимумы) удовлетворяют формуле Вульфа–Брэгга

,                  (17.8)

где  .

 

Межплоскостное расстояние d найдем:

                (17.9)

Длина волны де Бройля

                 (17.10)

Подставляя (17.10) в (17.9), получим

              (17.11)

Угол скольжения ;

Подставляя числовые значения в (17.11), найдем

 Å.

Задача 17.2.4. Вычислите длину волны де Бройля для дейтона, обладающего кинетической энергией  и (m0 дейтона ).

 

Решение

 

Вычислим энергию покоя E0 дейтона, чтобы оценить, в каком случае дейтон можно считать классической частицей (), а в каком – релятивистской частицей ().

При  дейтон – классическая частица, так как .

Импульс найдем по формуле .

Длина волны де Бройля классического дейтона

При  дейтон – релятивистская частица ().

Импульс релятивистской частицы

.  (17.12)

Полная энергия частицы

.          (17.13)

Возведем в квадрат (17.13)

;

          (17.13а).

Так как

.        (17.14)

Подставляя (17.14) в (17.13а), получаем

.            (17.15)

Выразим импульс частицы

. (17.16)

Так как  – кинетическая энергия частицы, а

,             (17.17)

то связь между импульсом и кинетической энергией частицы выражается формулой:

.       (17.18)

Тогда длина волны де Бройля релятивистской частицы

(дейтона)

.              (17.19)

Подставляя числовые значения в (17.19), получаем :

.

Задача 17.2.5. На узкую щель шириной  направлен параллельный пучок электронов. Расстояние между двумя минимумами первого порядка l в дифракционной картине, полученной на экране, равно . Экран расположен от щели на . Определите скорость электронов.

 

Решение

 

Длину волны де Бройля определяем по формуле:

            (17.20)

Рис. 17.2

 

Условие первого дифракционного минимума на одной щели имеет вид

,                  (17.21)

где  .

При малых углах ,

.          (17.22)

Из рис. 17.2 видно, что

.            (17.23)

Так как , тогда

.                 (17.24)

Подставив значение  из (17.24) в (17.22), получим

.          (17.25)

Из формулы (17.20) и (17.25) определяем скорость электронов:

.

Задача 17.2.6. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, покажите, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным .

 

Решение

 

Соотношение неопределенностей выражается формулой:

.

Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т.е. , то неопределенность импульса электрона определим следующим образом:

.

Так как , то

.             (17.26)

Подставляя числовые значения в (17.26), вычислим

.

Так как  (скорости света), следовательно, ядра атомов не могут содержать электроны.

Задача 17.2.7 (а). «Время жизни» возбужденного состояния атома составляет около . Используя это в качестве для испускания фотона, вычислите минимальное , допускаемое принципом неопределенности. Какую долю  это составляет, если длина волны рассматриваемой спектральной линии равна 6000 Å? (Этот расчет определяет предельную резкость спектральной линии.)

 

Решение

 

Для определения неопределенности частоты испускаемого фотона воспользуемся соотношением неопределенности для энергии возбужденного состояния и времени пребывания в этом состоянии:

.           (17.27)

Так как , то

.             (17.28)

С учетом (17.28) получаем

             (17.29)

(минимальное значение получим при знаке равенства в (17.29)),

.              (17.30)

Частоту выразим через длину волну ,

.                (17.31)

Относительную неопределенность частоты фотона определим, разделив на  используя (17.30) и (17.31):

.                  (17.32)

Подставляя числовые значения, вычислим предельную резкость спектральной линии:

.

Расчет показывает, что частота спектральной линии определена с высокой степенью точности.

Задача 17.2.7 (б). Используя данные предыдущей задачи, оцените относительную неопределенность длины волны фотона.

 

Решение

 

Продифференцировав формулу (17.31), получим

.

Заменив d на Δ и убрав знак «–», получим

                (17.33)

(знак «–» показывает, что увеличение частоты соответствует уменьшению длины волны).

Из формулы (17.33) выразим неопределенность длины волны

.

Тогда относительная неопределенность длины волны с учетом (17.30) будет выражаться формулой:

.      (17.34)

Подставляя числовые значения, получим

.

Как видим, результаты задачи 17.2.7 (а) и (б) одинаковые.

Задача 17.2.8. Траектория частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку малых капелек тумана, размер которых порядка 1 мкм. Можно ли, наблюдая след электрона с энергией

1 кэВ, обнаружить отклонение в его движении от законов классической механики?

 

Решение

 

Для определения неопределенности скорости электрона воспользуемся соотношением неопределенности координаты  и импульса :

.                   (17.35)

Так как неопределенность импульса

,

то неопределенность скорости получим

,                  (17.36)

где неопределенность координаты  можно принять равной размеру капелек тумана .

Скорость электрона определим из формулы кинетической энергии :

.                  (17.37)

Относительную неопределенность скорости получим, разделив (17.36) на (17.37):

.          (17.38)

Подставляя числовые значения в (17.38), получим

.

Обнаружить отклонения в движении электрона от законов классической механики нельзя. Понятие траектории в данном случае имеет физический смысл.