Название: Квантовая оптика. Квантовая механика - методические указания (Э.Б. Селиванова)

Жанр: Технические

Просмотров: 1154


18.1. основные понятия и соотношения

 

Волновая функция  ψ (или пси-функция). В квантовой механике состояние микрочастицы задается ψ-функцией. Физический смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат ее модуля:

|ψ|2 = ψ · ψ*, где ψ* – функция, комплексно сопряженная с ψ.

Согласно М. Борну, эта величина определяет вероятность  того, что частица в момент времени  будет обнаружена в пределах объема :

                 (18.1)

Иными словами величиной  определяется интенсивность волн де Бройля.

Интеграл от (18.1), взятый по всему пространству, должен равняться единице:

          (18.2)

Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве.

Соотношение (18.2) называется условием нормировки, а функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными.

В соответствии со своим смыслом ψ-функция должна удовлетворять стандартным условиям, т.е. она должна быть однозначной, непрерывной и конечной. Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную.

Из физического смысла ψ-функции следует, что квантовая механика имеет статистический, вероятностный характер.

-функция не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С ее помощью можно показать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в разных точках пространства.

Временное уравнение Шредингера. Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики и выглядит следующим образом:

,               (18.3)

где m – масса частицы; i – мнимая единица;  – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется;  – оператор Лапласа ;  – волновая функция частицы.

Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики, не выводится, а постулируется. Справедливость его доказывается тем, что все вытекающие из него следствия согласуются с опытными фактами.

Если известны волновая функция в начальный момент времени и силовое поле, в котором движется частица, то, решив уравнение (18.3), можно найти волновую функцию в последующие моменты времени. Однако этим не исчерпывается значение указанного уравнения. Из уравнения (18.3) и условий, налагаемых на ψ-функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

Стационарное уравнение Шредингера. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то поведение микрочастицы описывается уравнением Шредингера для стационарных состояний:

,                    (18.4)

где Е – полная энергия частицы.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шре-дингера.

Рассмотрим четыре примера применения уравнения (18.4).

Частица в одномерном бесконечно глубоком потенциальном «ящике». Рассмотрим электрон, движущийся вдоль оси x в потенциальном поле (рис. 18.1). Потенциальная энергия внутри «ящика» равна нулю. Уравнение (18.4) применительно к данному случаю запишется в виде:

.                      (18.5)

Рис. 18.1

 

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому ψ-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что  должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е.

                        (18.6)

Условию (18.6) должны удовлетворять решения уравнения (18.5).

Результаты решения приведены в табл. 18.1. Там же для наглядности на табл.18.1, а, б, в показаны графики ψ-функции, уровни энергии и плотности вероятности для электрона в состояниях с

 

Таблица 18.1

Характеристики частицы в потенциальном «ящике»

Собственные

-функции

Собственные

значения энергии

электрона

Расстояние

между

энергетическими

уровнями

,

,

 

а

б

в

 

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект. Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути прямоугольный барьер высотой  и шириной  (рис. 18.2).

Рис. 18.2

По классическим представлениям: если энергия частицы Е больше высоты барьера

(Е > U0), частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке  лишь уменьшается скорость частицы, но затем при x > l скорость снова принимает первоначальное значение); если же Е < U0 , то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону – сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механики. Во-первых, даже при Е > U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области III. Такое поведение частицы вытекает непосредственно из решения уравнения Шредин-гера.

Уравнения Шредингера для областей I, II, III, их решения, значения коэффициентов отражения R и прозрачности D приведены в табл. 18.2.

Кратко поясним ее содержание.

В решении уравнений Шредингера (табл. 18.2 в форму-

лах 3–5) слагаемые вида  соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси x (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а слагаемые вида

 – волне, распространяющейся в противоположном направлении (соответствует частице, движущейся от барьера влево).

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент  в выражении 4 (табл. 18.2) для  следует положить равным нулю. Коэффициенты  находим из граничных условий:

, ;

, .

Таблица 18.2

Решение уравнения Шредингера для потенциального барьера

Области

Уравнение Шредингера

Решение уравнения Шредингера

Области

I и III

1.

3.     

4.    

или

Область II

2.

5.

6.

 

Окончание табл. 18.2

Области

Значения

коэффициентов

 и

Коэффициент

отражения

R

Коэффициент прозрачности

D

Области

I и III

7.  

 

 

Область II

8.  

 

9.  

 

В области II решение уравнения Шредингера зависит от соотношений Е > U0 или Е < U0. В нашем случае (рис. 18.2) поскольку Е < U0, то согласно 2 в табл. 18.2,  – мнимое Подпись:  
Рис. 18.3
число, где . Как видно из табл. 18.2, коэффициент прозрачности D – это отношение интенсивностей прошедшей и падающей волны; коэффициент отражения R – это отношение интенсивностей отраженной и падающей волны. В случае барьера сложной формы (рис. 18.3) коэф-фициент прозрачности определяется соотношением:

.          (18.7)

Для низкого потенциального барьера бесконечной ширины (рис. 18.4).

Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе потенциального барьера:

,                                    (18.8)

где λ1 и λ2 – длины волн де Бройля в I и II областях; k1 и k2 – определяются формулами 7 и 8 табл. 18.2.

Коэффициенты отражения R и пропускания (прозрачности) D:

;            .

Рис. 18.4

Для высокого потенциального барьера бесконечной ширины  (рис. 18.5). Коэффициент отражения R:

                               (18.9)

 

Рис. 18.5

 

Квантовый гармонический осциллятор. Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы . Потен-циальная энергия такой частицы имеет вид

                                      (18.10)

Собственная частота классического гармонического осцилля-тора равна , где m – масса колеблющейся частицы. Выразив k через m и ω, получим

                                 (18.11)

Подпись:  
Рис. 18.6
Кривая зависимости потенци-альной энергии от x изображена на рис. 18.6. С классической точки зрения амплитуда A колебаний гармонического осциллятора оп-ределяется запасом его полной энергии E, которая может принимать любые значения, в том числе равное нулю. За пределы области  классический осциллятор выйти не может.

В квантовой механике качественно поведение гармонического осциллятора можно описать через поведение частицы, обладаю-щей волновыми свойствами, «запертой» параболической потен-циальной ловушки.

Из этого подхода получаются два важных результата.

Полная энергия квантового осциллятора и амплитуда его колебаний не могут быть равны нулю. Существует минимальное значение полной энергии гармонического осциллятора

,                               (18.12)

называемое нулевой энергией осциллятора.

Подпись:  

Рис. 18.7
Полная энергия осциллятора может принимать только квантованные значения. Это связано, как и в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы, с тем, что при движении частицы внутри потенциальной ловушки возникают стоячие волны, причем разрешен-ным значениям энергии, как показывают расчеты, соответствуют только случаи, когда на длинах AA', BB' и CC' (рис. 18.7) укладывается нечетное число полуволн де Бройля.

Точное поведение квантового осциллятора описывается урав-нением Шредингера, которое применительно к рассматривае-мому случаю имеет вид:

                (18.13)

При строгом решении этого уравнения возможные значения энергии En квантового осциллятора определяются соотношением

,                       (18.14)

где n = 1, 2, 3, … . На рис. 18.7 показаны три первых низших уровня энергии. Все уровни отстоят друг от друга на одинаковую величину .

Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу:

Упомянем еще об одном отличии квантового осциллятора от классического. Из решения уравнения 1 табл. 18.3 следует, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области, т.е. за точками A и B (рис. 18.7) там, где полная энергия меньше потенциальной. Это оказывается возможным вследствие туннельного эффекта.

В заключение для удобства использования в процессе решения задач сведем рассмотренные соотношения в табл. 18.3.

 

Таблица 18.3

Решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора

Уравнение Шредингера

Нулевая

энергия

гармониче-

ского

осциллятора

Значения энергии осциллятора

*

 

Атом водорода

Состояние электрона в атоме водорода описывается уравнением Шредингера, которое имеет следующий вид:

,                    (18.15)

где m – масса электрона; E – полная энергия электрона в атоме;  – потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром.

Приведем наиболее важные результаты решения уравнения Шредингера.

Энергия электрона определяется формулой

,                    (18.16)

где n = 1, 2, 3, … . Энергетический спектр электрона представлен на рис. 18.8.

Состояние, в котором находится электрон с минимальным значением энергии, называется основным (E1 = –13,6 эВ). Все остальные состояния (E2, E3, …) являются возбужденными.

Квантовые числа. Уравнению (18.15) удовлетворяют собст-венные функции .

Главное квантовое число n определяет энергию электрона в атоме (n = 1, 2, 3, 4, …).

Орбитальное квантовое число l определяет момент импуль-са электрона в атоме. При заданном значении n l может принимать значения l = 0, 1, 2, 3,…, n – 1. Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется (принимает дискретные значения) и определяется по формуле

.                             (18.17)

Магнитное квантовое число  определяет проекцию мо-мента импульса  электрона на заданное направление. При заданном значении l число ml может принимать значения  всего (2l + 1) значений.

Проекция момента импульса  принимает квантованные значения

                                    (18.18)

Спиновое квантовое число s принимает у электрона значения . Спин электрона – квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобно его заряду.

Собственный механический момент импульса (спин) LS

квантуется

                                (18.19)

Проекция спина  на направление внешнего магнитного поля является величиной квантованной

,                                     (18.20)

где mS – магнитное спиновое квантовое число.

Оно может иметь только два значения .

Состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами l = 0, называют s-состоянием (s-электрон); l = 1 – p-состоянием; l = 2 – d-состоянием; l = 3 – f-состоянием.

Электроны в состояниях с n = 3, l = 0 и l = 1 обозначаются 3s

и 3p.

Спектры испускания и поглощения атома водорода.

В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничиваю-щие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света.

Изменение орбитального квантового числа  удовлетворяет условию

.                                   (18.21)

Изменение магнитного квантового числа  удовлетворяет условию

.                            (18.22)

На рис. 18.8 изображены спектральные линии атома водорода с учетом числа возможных состояний, соответствующих данному n, и с учетом правила отбора.

Рис. 18.8

 

Разрешены переходы  (n = 2, 3, …),    (n = 3, 4, …) и т.д.

При переходе электрона в атоме водорода с одного энергетического уровня на другой испускается или поглощается квант энергии с частотой ω

,                         (18.23)

где R – постоянная Ридберга .

В заключение сведем все рассмотренные соотношения

в табл. 18.4.

 

 

Таблица 18.4

Решение уравнения Шредингера для атома водорода

Уравнение Шредингера

Собственные

значения

энергии электрона

Собственные

функции ψ

Квантовые

числа

Правило отбора

Подпись: 54 

n = 1, 2, 3,…

l = 0, 1,…, n–1

 

 

Молекулы. Молекулярные спектры

В первом приближении отдельные виды молекулярных движений – движение электронов, колебание и вращение молекулы – можно считать независимыми друг от друга. Полную энергию молекулы можно представить в виде

,                          (18.24)

где    Ee – энергия, обусловленная электронной конфигурацией; Eυ– энергия, обусловленная колебаниями молекул (колебательная энергия); Er – энергия, связанная с вращением молекулы (вращательная энергия).

Согласно (18.14) энергия гармонического квантового осциллятора определяется формулой

,                        (18.25)

где  – колебательное квантовое число (). Для колебательного квантового числа правило отбора имеет вид

.                                  (18.26)

Энергия молекулы, имеющей момент инерции I и вращающейся с угловой скоростью ωr, равна

,              (18.27)

где  – момент импульса молекулы.

Момент импульса молекулы – величина квантованная и

равная

,                                 (18.28)

где J – вращательное квантовое число. Оно может принимать значения J = 0, 1, 2, … Для вращательного квантового числа имеется правило отбора

.                                  (18.29)

 

Молекулярные спектры. Рассмотрим лишь вращательные и колебательно-вращательные спектры двухатомной молекулы.

Вращательные полосы. Наименьшей энергией обладают фотоны, соответствующие переходам молекулы из одного вращательного состояния в другое:

.  (18.30)

Частоты линий, испускаемых при переходах между вращательными уровнями, могут иметь значения:

,    (18.31)

где                                      ;                                 (18.32)

J – квантовое число уровня, на который совершается переход.

Подпись:  

Рис. 18.9
На рис. 18.9 показана схема возникновения вращательной полосы. Зная расстояние между линиями , можно определить B, найти момент инерции молекулы и вычислить расстояние между атомами в двухатомной молекуле.

Колебательно-вращательные полосы. Энергия излучаемого фотона в случае, когда при переходе изменяется и колебательное, и вращательное состояние молекулы, будет равна

 

.                              (18.33)

Если, то частоту фотона можно определить формулой

,                               (18.34)

где    J – вращательное квантовое число нижнего уровня и J может принимать значения 0, 1, 2,…; B – величина, определяемая по формуле (18.32).

Если , то формула для частоты фотонов имеет вид:

,                            (18.35)

где J – вращательное квантовое число нижнего уровня и J может принимать значения 1, 2, 3, … .

Спектр колебательно-вращательной полосы представлен на рис. 18.10.

 

 

Рис. 18.10

В заключение сведем все основные соотношения в табл. 18.5.

Таблица 18.5

Энергия

вращательного

движения молекулы

Спектр вращательной полосы

Энергия колебательного движения молекулы

Спектр колебательно-вращательной полосы