Название: Квантовая оптика. Квантовая механика - методические указания (Э.Б. Селиванова)

Жанр: Технические

Просмотров: 1154


18.2. примеры решения задач

 

Задача 18.2.1. Напишите уравнение Шредингера для свободного нерелятивистского электрона, движущегося в отрицательном направлении оси x со скоростью V. Найдите решение этого уравнения.

 

Решение

 

Для свободного электрона, движущегося в отрицательном направлении оси x, согласно идее де Бройля, можно сопоставить плоскую волну

,

 – волновая функция, описывающая состояние частицы;

 – частота;  – волновое число.

Заменив  и  через энергию  и импульс , получим выражение

                           (18.36)

Продифференцировав это выражение один раз по времени, а второй раз дважды по x, получим

            (18.37)

;

.                                 (18.38)

Из (18.37) и (18.38) выразим энергию E и импульс P:

;

,                    (18.39)

где .

В нерелятивистской механике энергия E и импульс свободной частицы P связаны соотношением

.                              (18.40)

Подставив в формулу (18.40) выражения (18.39) для E и P и сократив затем на , получим уравнение

.

Задача 18.2.2. Волновая функция  описывает состояние частицы в бесконечно глубоком ящике шири-

ной l. Вычислите вероятность нахождения частицы в основ-

ном состоянии в малом интервале  в двух случаях:

1) вблизи стенки ; 2) в средней части ящика .

 

Решение

 

Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx от x до x + dx, определим через квадрат модуля волновой функции, описывающей данное состояние

.                            (18.41)

1. Находим вероятность, интегрируя формулу (18.41) в пределах от 0 до 0,01l:

                        (18.42)

для основного состояния n = 1.

Так как x изменяется в интервале  и , то можно считать, что

.                         (18.43)

С учетом (18.43) выражение (18.42) примет вид

.

После интегрирования получим

.

2. можно обойтись и без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале  практически не изменяется (рис.18.11).

Рис. 18.11

Вероятность определим по формуле

.

Задача 18.2.3 (а). Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике. Ширина ящика . Определите наименьшее значение энергии электрона, а также вероятность нахождения электрона на участке  четвертого энергетического уровня.

 

Решение

 

Состояние частицы в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной l описывается волновой функцией

,                           (18.44)

где n = 1, 2, 3, … .

Полную энергию частицы в потенциальном ящике определим по формуле

.                               (18.45)

Минимальное значение энергии электрона получим при n = 1

.                           (18.46)

Подставляя числовые значения, вычислим

Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале от x до x + dx, равна

.                            (18.47)

Используя формулу (18.47), найдем вероятность в пределах от 0 до :

.          (18.48)

Так как электрон находится на четвертом энергетическом уровне (n = 4), получим

Таким образом, вероятность нахождения электрона на четвертом энергетическом уровне в интервале  равна 0,25.

Задача 18.2.3 (б). Используя условие предыдущей задачи, определите точки, в которых плотность вероятности нахождения электрона в четвертом энергетическом состоянии минимальна и максимальна.

Решение

 

Из формулы (18.44) минимальное значение волновой функции  равно 0. Это будет в том случае, если аргумент синуса  равен 0, π, 2π, 3π, …, mπ (m = 0, 1, 2, …), или

.

При n = 4, .

Следовательно:

m = 0, ;

m = 1,;

m = 2, ;

m = 3,;

m = 4,.

При больших значениях m координата x > l.

Максимальное значение  равно  в тех случаях, когда , т.е. когда аргумент синуса  . При этом .

При n = 4, .

Следовательно:

m = 1, ;

m = 2, ;

m = 3, ;

m = 4, .

При больших значениях m электрон уходит за пределы потенциальной ямы.

Задача 18.2.4. Электрон с энергией  встречает на своем пути потенциальный барьер высотой  (рис. 18.12) Определите коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.

 

Решение

 

Коэффициент преломления n волн де Бройля определим по формуле (18.8):

,

где  – длина волны де Бройля; k – волновое число .

Рис. 18.12

 

В I области , а во II области .

Подставив в (18.8) значения k1 и k2, получим коэффициент преломления

Задача 18.2.5. Моноэнергетический поток электронов

(Е =100 эВ) падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины (рис. 18.13). Определите высоту

потенциального барьера U, если известно, что 6 \% падающих на барьер электронов отражается.

 

Решение

 

Коэффициент отражения R от низкого потенциального барьера выражается формулой

,

где k1 и k2 – волновые числа, отвечающие движению электронов в I и II областях (рис.18.13).

 

Рис. 18.13

 

В области I кинетическая энергия электрона равна Е и волновое число

                            (18.49)

В области II кинетическая энергия электрона равна (E – U ) и волновое число

.                            (18.50)

Коэффициент отражения с учетом (18.49) и (18.50) запишем в виде формулы:

                 (18.51)

Разделим числитель и знаменатель на :

                             (18.52)

Обозначим

тогда коэффициент отражения запишем в следующем виде

                            (18.53)

Извлекая корень из формулы (18.53), получим

,

затем, произведя следующие действия, получим:

                            (18.54)

Так как , то выражение (18.54) будет иметь вид:

 

Возведя в квадрат обе части равенства, найдем высоту потенциального барьера:

Подставим числовые значения:

Задача 18.2.6 Электрон в невозбужденном атоме водорода получил энергию 12,1 эВ. На какой энергетический уровень он перешел? Сколько линий спектра могут излучиться при переходе электрона на более низкие энергетические уровни? Вычислите соответствующие длины волн.

 

Решение

 

Энергия электрона в атоме водорода может принимать только дискретные значения:

.

В основном (невозбужденном) состоянии  энергия электрона равна

Электрон в атоме водорода при получении энергии переходит из основного состояния на более высокий энергетический уровень. По формуле  находим номер возбужденного уровня: , т.е. . С третьего уровня возможен переход на первый и второй уровни, со второго уровня – на первый. При этом получим три линии спектра.

Частоты всех линий спектра водородного атома можно представить одной формулой:

,

где R – константа, которая называется постоянная Ридберга.

Если , то  Тогда частоты спектральных линий будут:

Если , то  Частота спектральной линии будет:

Соответствующие этим частотам длины волн:

 Å;

 Å;

 Å.

Задача 18.2.7. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3p-состоянии. Определите изменение магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

 

Решение

 

Магнитный момент орбитального движения электрона определим по формуле:

где  – магнетон Бора   – орбитальное квантовое число.

В основном состоянии  . В возбужденном состоянии 3p

Изменение магнитного момента

Знак «–» показывает, что в данном случае магнитный момент уменьшился.

Задача 18.2.8. Покажите, что интервалы частот между соседними спектральными линиями чисто вращательного спектра двухатомной молекулы имеют одинаковую величину. Найдите расстояние между ядрами молекулы , если интервал между соседними линиями чисто вращательного спектра этих молекул

.

 

Решение

 

Вращательные энергии молекул могут принимать только дискретные значения, равные

,                        (18.55)

где  – вращательное квантовое число ;  – момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через центр инерции;  – момент импульса молекулы,  – циклическая частота вращения.

Используя выражение 18.55, найдем разность энергии между двумя уровнями  и

,

где .

Подпись:  
Рис. 8.14
Частоты линий, испускаемых при переходах между вращательными уровнями, могут иметь значения

 – квантовое число уровня, на который совершается переход.

На рис.18.14 показана схема возникновения вращательной полосы. Вращательный спектр состоит из ряда равноотстоящих линий. Расстояние между соседними линиями

.

Момент инерции молекулы :

Задача 18.2.9. Определите для молекулы  вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность энергий которых , а расстояние между ядрами .

 

Решение

 

Вращательные энергии молекул могут принимать только дискретные значения, равные:

,                           (18.56)

где J – вращательное квантовое число ; I – момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через центр инерции.

Используя выражение (18.56), найдем разность энергии между двумя уровнями (J+1) и J

      (18.57)

Момент инерции молекулы  равен

,                              (18.58)

где  – приведенная масса, равная

       (18.59)

Из формул (18.57) – (18.59) получим

Таким образом,

, а .

Задача 18.2.10. В эксперименте измерены энергии перехода между тремя последовательными уровнями энергии вращательной полосы двухатомной молекулы. Найдите квантовые числа J этих уровней и момент инерции I молекулы.

 

Решение

 

Подпись:  
Рис. 18.15
Вращательные энергии молекул определим по формуле . Для каждого из трех уровней запишем

; ;

                    (18.60)

Из формулы (18.60) найдем разность энергий между двумя уровнями:

              (18.61)

      (18.62)

Отношение  и  равно

Следовательно,  и указанным трем уровням соответствуют , , .

Момент инерции определим из (18.61):