Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


2.1. теорема лагранжа об устойчивости

положения равновесия консервативной системы

Начнем изложение прямого метода Ляпунова с теоремы, к этому методу непосредственно не относящейся*, но важной для понимания его идеи: Если потенциальная энергия консервативной системы имеет в положении равновесия строгий минимум, то это положение устойчиво.

Доказательство этой теоремы проведем при двух дополнительных условиях.

Для рассматриваемой системы введем обобщенные координаты  и перенесем начало отсчета  в положение равновесия. Условие строгого минимума означает, что  в некоторой -окрестности нуля:  (), как только хотя бы одна обобщенная координата отлична от нуля. Не уменьшая общности, можно считать .

В качестве первого дополнительного условия примем, что  – непрерывная функция обобщенных координат в

-окрестности. Напомним: это означает, что для любой назначенной оценки разности функций можно указать близость аргументов, обеспечивающую эту оценку.

Кинетическая энергия консервативной системы всегда имеет вид положительно-определенной квадратичной формы обобщенных скоростей:

.

По обобщенным скоростям эта форма непрерывна. Как второе дополнительное условие примем, что коэффициенты  непрерывны по переменным  и, следовательно, кинетическая энергия непрерывна по всем своим аргументам (в пределах

-окрестности нуля).

Приступаем к доказательству теоремы Лагранжа. В соответствии с определением устойчивости равновесия выберем произвольное положительное число . В 2n-мерном пространстве переменных  выбранное  определяет -окрестность состояния равновесия . На рис. 1 2n-мерное пространство и эта окрестность условна показана на плоскости. Единственное ограничение при выборе :  ( – размер области определения свойств консервативной системы) – не является существенным. Если будет показано, что консервативная система в своем движении не покидает -окрестности, то она не покинет и большей окрестности, в частности, при некотором .

Рассмотрим полную энергию консервативной системы:

.

По сделанным допущениям это – непрерывная функция аргументов , положительно-определенная, т.е. строго больше нуля, всюду в -окрестности, кроме точки .

На границе -окрестности в некоторой точке границы полная энергия достигает своего минимального, положительного значения:

.

В других точках границы -окрестности .

Так как в начале координат – состоянии равновесия – непрерывные функции Т и П обращаются в нуль, можно указать столь малую -окрестность нуля:

,

чтобы обе функции оказались в ней меньше заданной величины:

.

Тогда в такой -окрестности полная энергия .

Указанную -окрестность и примем за область начальных данных  в определении устойчивости равновесия.

Для консервативной системы полная энергия сохраняет свое значение для движения с определенными начальными данными. Любое движение, начатое в -окрестности, не достигнет границы -окрестности, где полная энергия должна была бы принять значения, большие своих значений в начальный момент времени .

Таким образом, теорема доказана.

Обсудим теперь идею этого доказательства. Вместо того, чтобы анализировать свойства системы дифференциальных уравнений возмущенного движения, здесь используются свойства некоторой функции от переменных состояния (положений и скоростей). В рассмотренном случае консервативной системы роль этой функции играет полная энергия Е.

Соответствие определению устойчивости вытекает из совместных свойств самой функции (положительной определенности) и ее полной производной вдоль движения*, а именно:

.

Конечно, при фактическом вычислении полной производной вдоль движения используются дифференциальные уравнения движения консервативной системы; иначе говоря, закон сохранения полной энергии есть следствие этих уравнений. Но важно подчеркнуть, что для суждения об устойчивости можно пользоваться свойствами некоторой связанной с возмущенным движением механической системы функции, не обсуждая происхождения этих свойств**.

Для изучения устойчивости не равновесия, а движения, да к тому же систем неконсервативных, не существует стандартных способов построения подобных функций, но можно сформулировать проблему исследования устойчивости так:   Если удастся указать функцию переменных состояния с определенным сочетанием свойств самой функции и ее полной производной по времени вдоль возмущенного движения, то можно попытаться по этим свойствам выбрать критерии устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости основного движения.

В такой форме анализа устойчивости движения и состоит прямой метод Ляпунова, к изложению которого теперь можно перейти.