Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


2.2. функции ляпунова

Рассмотрим функцию , определенную в области  для всех моментов времени . Пусть V непрерывна и имеет непрерывные частные производные по всем аргументам. При всех : .

Если  всюду в области определения, то эта функция неотрицательная; если  – функция неположительная. Все функции с такими свойствами назовем знакопостоянными.

Функцию, строго большую нуля вне начала координат, назовем положительно-определенной при дополнительном условии, что время явно не входит в эту функцию. Таким образом, функция

*   вне начала координат  при  – положительно-определенная.

   вне начала координат  при  – отрицательно-определенная.    

Если же  º 0 (время явно присутствует в функции V), то будем называть положительно-определенной (соответственно отрицательно-определенной) функцию, “отдельную от нуля” другой функцией Ляпунова W, положительно-определенной (соответственно отрицательно-определенной), от времени явно не зависящей:

Все положительно- и отрицательно-определенные функции назовем знакоопределенными.

Очевидно, если все , то . Для знакоопределенной функции W справедлива и обратная лемма:

Если , то все .

При доказательстве леммы достаточно считать W положительно-определенной. Рассмотрим убывающую к нулю последовательность:

          (2.1)

Здесь  – точки в пространстве переменных , в которых вычислены W-элементы убывающей последовательности. Покажем, что при любом выборе убывающей к нулю последовательности координаты точек  с ростом m. В области определения  выделим область  при произвольном . В оставшейся области () непрерывная положительно-определенная функция W имеет положительный минимум . В последовательности (2.1) найдется элемент с некоторым номером, начиная с которого все элементы меньше . Тогда точки , начиная с этого номера, должны лежать внутри области . Уменьшая  и определяя каждый раз новый номер точки по этой процедуре, убедимся, что точки с координатами  с ростом m окажутся как угодно близко к нулю. Лемма доказана.

Полная производная функция Ляпунова (с числом переменных , равным r) по времени с учетом уравнений возмущенного движения (1.3) будет:

.

 – также функция Ляпунова со значением .

Еще раз отметим, что с движением данной механической системы можно достаточно произвольно связать функцию Ляпунова с нужным числом переменных. Только совместные свойства функций V и  учитывают свойства данной конкретной механической системы в ее возмущенном движении относительно основного.

Ниже подразумевается без особых оговорок, что: речь идет об устойчивости основного движения; возмущенное движение описано в отклонениях; выбор функции Ляпунова в соответствии с числом переменных состояния уже сделан.