Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1394


2.4. критерий асимптотической устойчивости движения

Условия для функции Ляпунова в этом критерии более жесткие, чем в критерии просто устойчивости.

Если: : функция V – знакоопределенная,

*: функция  – знакоопределнная противоположного

       знака,

: функция V имеет бесконечно малый высший

       предел,

то движение асимптотически устойчиво.

      К пункту  этих условий необходимо пояснение. Термин ”бесконечно малый высший предел” означает, что функция V стремится к нулю при всех  равномерно относительно времени t. Иными словами, для каждого  найдется , независимое от t (или: пригодное для любого момента времени), такое, что при всех  .

      Обычная устойчивость обеспечена условиями и .

      Для определенности положим: ,  в -окрест-ности нуля. Тогда функция V убывает вдоль движения, оставаясь ограниченной снизу нулем; следовательно она имеет предел:

.

      Пусть а. Тогда . По условию  найдется

-окрестность нуля, в которой для всех моментов времени  V. В эту окрестность система не может попасть во все время движения.

      Отрицательно-определенная функция  отделена от нуля некоторой функцией Ляпунова , также отрицательно-определенной, но от времени не зависящей:

.

      В области (), в которой происходит движение системы, имеется положительный минимум :

.

      Функция Ляпунова убывает вдоль движения не медленнее, чем с этой скоростью:

.

      Следовательно, она неизбежно меняет знак, что противоречит условию . Допущение  оказывается неверным. Получаем а = 0 или:

.

      Напомним, что положительно-определенная функция V отделена от нуля также положительно-определенной функцией W, от времени не зависящей: . Если V, то W. Тогда по лемме из раздела 2.2 все , что и доказывает асимптотическую устойчивость (при наличии обычной устойчивости).

2.5. I критерий неустойчивости движения

Если: : как угодно близко от начала координат существуют

                       точки, в которых  функция V,

: функция  – положительно-определенная*,

: функция V имеет бесконечно малый высший предел,

то движение неустойчиво.

Из условия  следует, что в области определения  можно указать -окрестность нуля, в которой функция V ограничена некоторым числом L во все время движения: . Размер

-окрестности:  – примем за число  в определение неустойчивости.

      В любой как угодно малой -окрестности нуля:  – по условию  найдется точка, в которой в начальный момент времени . Функция V по условию  растет вдоль движения; поэтому  для движения из найденной точки. По условию  найдется такая -окрестность, в которой  для всех t; выбор , конечно, зависит от . Система не может попасть в -окрестность. Но функция  отделена от нуля функцией , от времени явно не зависящей:

.

В области () функция  имеет положительный минимум:

.

Поэтому для рассматриваемого движения функция V растет не медленнее, чем со скоростью :

.

При любом выборе  функция Ляпунова V с ростом времени превзойдет значение L, а система в своем движении покинет указанную -окрестность. Такое поведение возмущенного движения соответствует определению неустойчивости.